Gauss-Luc tétel

Egy tetszőleges összetett együtthatójú polinom esetében, amely nem azonosan állandó , deriváltjának nullák halmaza a polinom nullák konvex burkához tartozik . $P(z)$ $P'(z)$ $P(z)$

A bizonyításról

A tétel bizonyítása a következő könnyen ellenőrizhető állításon alapul: Ha a polinom minden gyöke a félsíkban van , akkor az egyenlőtlenség a régióban igaz: $P(z)$ ${\rm {Re}}\,z<0$ ${\rm {Re}}\,z\geq 0$

{\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0

amiből az következik, hogy a derivált minden gyökének is a félsíkban kell lennie . ${\rm {Re}}\,z<0$