Vinogradov tétele

A számelméletben Vinogradov tétele egy olyan eredmény, amelyből az következik, hogy bármely kellően nagy páratlan egész szám felírható három prímszám összegeként . Ez a gyenge Goldbach-sejtés gyengébb formája , ami azt jelenti, hogy létezik ilyen reprezentáció minden ötnél nagyobb páratlan egész számra.

A tétel Ivan Matveevich Vinogradov nevéhez fűződik , aki az 1930-as években bebizonyította. Hardy és Littlewood korábban kimutatta, hogy ez az eredmény az általánosított Riemann-hipotézisből következik , és Vinogradov ki tudta küszöbölni ezt a feltevést. Vinogradov tételének teljes bemutatása aszimptotikus becsléseket ad egy páratlan egész szám reprezentációinak számára három prím összegeként. Az „elég nagy” fogalma rosszul volt meghatározva Vinogradov eredeti művében, de 2002-ben 10 1346 elég nagynak bizonyult . Ráadásul a korábbi számokat nyers erő módszerekkel tesztelték, így csak véges számú esetet kell tesztelni, mielőtt a furcsa Goldbach-sejtés bebizonyosodik vagy megcáfolható. $10^{20}$

Vinogradov tételének állítása

Legyen A pozitív valós szám. Akkor

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

ahol

r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{ 3}),

a Mangoldt függvény használatával , és $\lambda$

G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right )\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).

Következmény

Ha N páratlan, akkor G ( N ) megközelítőleg egyenlő 1-gyel, tehát minden kellően nagy N esetén . Megmutatva, hogy a megfelelő főerők hozzájárulása r ( N )-hez , ez látható $N^{2}\ll r(N)$ $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$

N^{2}\log ^{-3}N\ll

(az N felírási módok száma három prímszám összegeként)

Ez különösen azt jelenti, hogy bármely kellően nagy páratlan egész szám felírható három prímszám összegeként, ami a gyenge Goldbach-sejtést mutatja véges szám kivételével. 2013-ban Harald Helfgott minden esetben bebizonyította a gyenge Goldbach-sejtést.

Bizonyítási stratégia

A tétel bizonyítása a Hardy-Littlewood kör módszert követi . Határozza meg az exponenciális összeget

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

Akkor van

S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n) e(\alpha n)

ahol a prímhatványokra korlátozott reprezentációk számát jelöli . Következésképpen ${\tilde {r))$ $\leq N$

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

Ha ez egy racionális szám , akkor a maradék osztályok prímeinek eloszlásával adható meg modulo . Ezért a Siegel-Walfis tétel segítségével kiszámíthatjuk a fenti integrál hozzájárulását racionális pontok kis szomszédságában, kis nevezővel. Az ilyen racionális pontokhoz közeli valós számok halmazát főíveknek szokták nevezni, a komplement alkotja a mellékíveket. Kiderül, hogy ezek az intervallumok dominálják az integrált, ezért a tétel bizonyításához meg kell adni egy felső korlátot a kis ívekben foglalt for -ra. Ez a becslés a bizonyítás legnehezebb része. $\alpha$ ${\frac {p}{q))$ $S(\alpha )$ $q$ $S(\alpha )$ $\alpha$

Ha elfogadjuk az általánosított Riemann-hipotézist, akkor a nagyívekre használt érvelést ki lehet terjeszteni kisívekre. Ezt Hardy és Littlewood tette 1923-ban. 1937-ben Vinogradov feltétlen felső határt adott a számára . Érvelése a szita egyszerű meghatározásával kezdődött, majd a kapott kifejezéseket összetett módon átrendezték, hogy valamilyen törlést kapjanak. 1977-ben R.C. Vaughan egy sokkal egyszerűbb érvet talált a később Vaughan személyazonosságaként ismertté vált. Bebizonyította, hogy ha , akkor $|S(\alpha )|$ $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

A Siegel-Walfis tétel segítségével a Dirichlet-féle közelítési tétel segítségével tetszőleges hatványaival foglalkozhatunk, amelyeket kis íveken kapunk. Ezért a kis ívek feletti integrál felülről behatárolható $q$ $\log N$ $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N))$

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}

ami a tételben a hiba kifejezést adja.

Jegyzetek

Vinogradov, Ivan Matvejevics. A trigonometrikus összegek módszere a számelméletben. – London és New York: Interscience, 1954.
Nathanson, Melvyn B. Additív számelmélet. A klasszikus alapok. - New York: Springer-Verlag, 1996. - Vol. 164. - ISBN 0-387-94656-X . - doi : 10.1007/978-1-4757-3845-2 . 8. fejezet.