Bondareva-Shapley tétel

A játékelméletben a Bondareva-Shapley tétel leírja a szükséges és elégséges feltételeket egy nem üres maghoz egy kooperatív játékban . A játék magja akkor és csak akkor nem üres, ha a játék kiegyensúlyozott . A tételt egymástól függetlenül Olga Bondareva és Lloyd Shapley fogalmazta meg az 1960-as években.

Tétel

Adjunk meg egy kooperatív játékot , amelyben a játékosok halmaza van, és a hasznossági függvény az összes részhalmaz halmazán van definiálva . A játék magja akkor és csak akkor nem üres, ha a következő feltétel teljesül bármely olyan függvényre, ahol : $\;\langle N,v\rangle \;$ $\;\;N\;$ $\;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;$ $N$
$\;\langle N,v\rangle \;$ $\alpha :2^{N}\setminus \{\varnothing \}\ to [0,1],$
$\forall i\in N:\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1$

\sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).

Irodalom

Bondareva O.N. A lineáris programozási módszerek néhány alkalmazása a kooperatív játékok elméletében // A kibernetika problémái. 10. szám - M .: Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 119-139 .
Kannai, Y (1992), The core and balancedness, Aumann, Robert J. & Hart, Sergiu, Handbook of Game Theory with Economic Applications, I. kötet , Amsterdam: Elsevier, p. 355-395, ISBN 978-0-444-88098-7
Shapley, Lloyd S. A kiegyensúlyozott készletekről és magokról // Naval Research Logistics Quarterly : folyóirat. - 1967. - 1. évf. 14 . - P. 453-460 . - doi : 10.1002/nav.3800140404 .