Bloch tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Bloch-tétel a szilárdtestfizika fontos tétele , amely megállapítja egy részecske hullámfüggvényének formáját egy periodikus potenciálban. Felix Bloch svájci fizikusról nevezték el . Egydimenziós esetben ezt a tételt gyakran Floquet-tételnek nevezik. 1928-ban fogalmazták meg.

Megfogalmazás

Szigorú megfogalmazás

Az egyelektronos Hamiltoni sajátállapotai

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,

ahol az U ( r ) potenciál periodikus a Bravais-rács összes R vektorán, megválaszthatók úgy, hogy a hullámfüggvényeik síkhullám formájúak legyenek, megszorozva egy olyan függvénnyel, amelynek periodicitása megegyezik a Bravais-rácséval:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,

ahol

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

a Bravais-rácshoz tartozó összes R -re . Az n indexet zónaszámnak nevezzük. Megjelenése annak köszönhető, hogy egy tetszőleges k fix részecskehullám vektor esetén a rendszernek sok független sajátállapota lehet.

Az elektronikus hullámfüggvényeket a formában Bloch-függvényeknek nevezzük . De fontos megérteni, hogy a Bloch-függvényekkel ellentétben az amplitúdók nem periodikus függvények, mivel a kifejezés síkhullámot ír le . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ textbf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

A megfogalmazás pontosítása

A tétel ideális végtelen kristályt tekint. Ez azt jelenti, hogy nincsenek hibái és transzlációs szimmetriája van. Az elmélet további felépítésében a rács periodicitásának megsértését általában kis perturbációnak tekintik. Ráadásul egy valódi kristályban az elektronok kölcsönhatásba lépnek egymással, aminek a rendszer Hamilton-rendszerében kell tükröződnie a megfelelő tag hozzáadásával. A tétel megfogalmazásánál azonban a nem kölcsönható elektronok közelítését alkalmazzuk, ami lehetővé teszi egyrészecskés Hamilton-féle vizsgálatot.

Bizonyítás

Jelölje T R egy tetszőleges függvény R vektorra történő fordításának operátorát . A Hamilton periodicitása miatt:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Így a Bravais-rács tetszőleges vektorára történő fordítás operátora ingázik a rendszer Hamilton-rendszerével. Ezenkívül tetszőleges két vektorra fordító operátorok ingáznak egymással:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hat {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).

A kvantummechanika alaptételéből következik, hogy ebben az esetben a Hamilton -féle H állapotai úgy választhatók meg, hogy azok egyidejűleg minden T R operátor sajátállapotai :

{\hat {H}}\psi =E\psi ,

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

A c ( R ) sajátértékeket a c ( R ) c ( R' )= c ( R + R' ) összefüggés kapcsolja össze, mivel egyrészt:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\hat {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

másikkal:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Legyen a i a Bravais-rács három fővektora. Mindig ábrázolhatjuk c ( a i )-t mint

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i)).

Egy tetszőleges R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 vektorra az egyenlőség igaz:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},

ekvivalens az egyenlőséggel , ahol b i a relációt kielégítő reciprok rácsvektorok $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3} \,,$

\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.

Így a Hamilton -féle H sajátértékei ψ megválaszthatók úgy, hogy a Bravais-rács minden R vektorára érvényes legyen az egyenlőség:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),

ami pontosan megfelel a tétel állításának.

Lásd még

Irodalom

N. Ashcroft, N. Mermin. Szilárdtestfizika. 1. kötet 8. fejezet.