Stressz tenzor

A feszültségtenzor (néha Cauchy feszültségtenzor , feszültségtenzor ) egy második rangú tenzor , amely a terhelt test egy tetszőleges pontjában fellépő mechanikai feszültségeket írja le , amelyek (test) kis alakváltozásaival ezen a ponton keletkeznek. Térfogattest esetén a tenzort gyakran 3×3-as mátrixként írják fel:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{mátrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{mátrix}}\right]=\left[{\begin {mátrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{xx}&\sigma _{ xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _ {zz}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{mátrix}}\jobbra]

és egy kétdimenziós test esetén (lásd az alábbi példát) 2×2 mátrixszal:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{mátrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{mátrix}}\right]=\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{mátrix}}\jobbra]

ahol a felületre ható mechanikai feszültségvektor . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n)))))$ ${\displaystyle e_{n))$

Mátrix jelölés esetén (a derékszögű koordinátarendszerben ) a mennyiségek (a feszültségtenzor összetevői) a test által egy adott ponton átélt feszültségeket írják le. Ezen a ponton a , , ... normálértékû spekulatív síkok rajzolódnak ki.A , , ... fõátlóra felírjuk az ezekre a síkra ható erõk normálkomponenseit , a többi pozícióban pedig a , , tangenciális komponensek . .. a feszültségvektorok ezeken a síkon. $\sigma_{ij}$ $\color {Red}e_{1}$ $\color {Red}e_{2}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ ${\displaystyle \tau _{yx))$ $\tau_{xy}$

Nagy alakváltozások (véges alakváltozások) esetén olyan megközelítéseket kell alkalmazni, mint a Piola-Kirchhoff feszültségtenzor , a Biot tenzor vagy a Kirchhoff feszültségtenzor .

A feszültségtenzor fizikai jelentése példaként a kétdimenziós esetben

A legegyszerűbb szemléltetés, amely lehetővé teszi a feszültségtenzor fizikai jelentésének megértését, valószínűleg nem az, ha figyelembe vesszük a stressz esetét valamilyen térfogati testben, hanem éppen ellenkezőleg, egy lapos, kétdimenziós test feszültségét. Ehhez vegyük figyelembe egy szövetdarab külső terhelés alatti igénybevételét (lásd A. ábra ).

Az ábrán egy téglalap alakú szövetdarab látható külső terhelés alatt, amelyet fekete nyilak ábrázolnak a téglalap kerülete mentén. Ebben az esetben a terhelés lehet a kézzel történő nyújtás különböző irányokba, vagy az anyag nyújtása valamilyen összetett formára.

Intuitív módon egyértelmű, hogy a molekulák alakja, orientációja, atomi rétegei és a szálak eltérő szövése miatt (az A. ábrán a szálak elhelyezkedése vázlatosan egy finom szürke ráccsal látható) a szövet különböző pontjain , a feszültség eltérő lesz: valahol vannak olyan területek, amelyek függőleges nyújtásnak vannak kitéve, máshol pedig a szálak nyírófeszültséget szenvednek .

Egy szövetdarab felületén minden pontnak megvan a maga egyedi feszültségértéke. Ez azt jelenti, hogy a szövet minden pontja megfelel a saját matematikai objektumának - egy második rangú tenzornak. $\mathbf {T}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T}$

Annak megértéséhez, hogy a tenzor hogyan mutatja a feszültség állapotát a szövet bármely pontján, készítsen egy kis vágást ezen a ponton, és figyelje meg, hogy ezek a vágások milyen irányban térnek el. Tehát az ábrán. És két vágást készítettünk az anyag különböző pontjain: az egyik vágás irányát a piros szaggatott vonal, a másikét a kék szaggatott vonal mutatja. E vágások irányának matematikai leírásához normálvektort (a vágási síkra merőleges vektort) használunk. Tehát egy vágásnál a normálvektor piros és a vágás síkjára merőleges, a vágásnál hasonló a helyzet. A szövetben lévő szakadás növekedési irányát lila vektorok jelzik . $\mathbf {T}$ $\color {red}c$ $\color {blue}c$ $\color {red}c$ $\color {red}{\vec {c}}$ $\color {blue}c$ $\color {RedViolet}{\vec {t))$

Annak előrejelzésére, hogy a vágás hol alakul ki, csak a feszültségtenzort használjuk. Matematikailag ez a jóslat így nézne ki:

Határozzon meg egy "tenzorfüggvényt" , amelynek argumentumai a testen belüli pontok koordinátái, értéke pedig egy tenzor, amely leírja a feszültség állapotát a test egy adott pontjában. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)) ,$
Válasszunk ki például egy pontot a testben, és kapjunk belőle egy tenzort, amely leírja a pont stresszállapotát $(x_{0},y_{0}),$ $f(x,y)$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Határozza meg annak a síknak az irányát, amelyben a testet vágni fogja. $\color {red}{\vec {c}}$
Szorozzuk meg a vágás irányát egy pontban a feszültség tenzorral egy adott pontban , ami matematikai jelölésben így néz ki $\color {red}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {red}{\vec {c}}}=\color {RedViolet}{\vec {t}}.$
A és vektor megmutatja, hogy a vágás hová terjed ki a pontban . $\color {RedViolet}{\vec {t))$ $\color {red}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$

A vágások és a vektorok, és a feszültség egy pontban tenzor. $\color {red}{\vec {c}}$ $\color {blue}{\vec {c}}$ $\mathbf {T}$

Meg kell érteni, hogy a test ugyanazon pontján végzett többirányú bemetszések a szövet eltérő reakcióját eredményezik. Ez a jelenség az ábrán látható. B , ahol a szövetszakadás növekedése különböző irányokban és eltérő intenzitással történik , válaszul a kezdeti bemetszés különböző irányaira és ugyanazon a ponton. $\color {RedViolet}{\vec {t))$ $||{\color {RedViolet}{\vec {t))}||$ $\color {red}{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$

Csak az ilyen összetett viselkedés leírására használnak tenzorokat, amelyek ebben az esetben a szövetdarab minden pontján meghatározott vektorfüggvényként szolgálnak, amelyek minden lehetséges vágási irányt összhangban állnak a további szövetrepedés minden lehetséges irányával. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\vec {c}}$ ${\vec {t}}$

Tenzorkomponensek származtatása

A derékszögű koordinátarendszer feszültségtenzor összetevőit (azaz ) a következőképpen vezetjük be. Egy test (folyamatos közeg) végtelenül kicsi térfogatát téglalap alakú paralelepipedonként tekintjük, amelynek lapjai merőlegesek a koordinátatengelyekre, és területük van . Felületi erők hatnak a paralelepipedon minden oldalára . Ha ezeknek az erőknek a vetületeit a tengelyre jelöljük , akkor a feszültségtenzor összetevői az erő vetületeinek aránya annak az oldalnak a területéhez, amelyre ez az erő hat: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $ökör_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

Itt nincs index szerinti összegzés. A , , komponensek , más néven , normál feszültségek , a normálra ható erő vetületének arányát jelentik a vizsgált lap területéhez : $én$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}

stb.

A , , komponensek , más néven , tangenciális feszültségek , ezek az erő érintőleges irányokra vetületének és a vizsgált lap területének arányát jelentik : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}

stb.

Folytonos közeg belső impulzusimpulzusa, valamint térfogati és felületi párok hiányában a feszültségtenzor szimmetrikus (az ún. nyírófeszültségek párosításának törvénye), ami a szögimpulzus egyensúlyi egyenlet következménye . A feszültségtenzor különösen szimmetrikus a klasszikus rugalmasságelméletben és az ideális és lineárisan viszkózus folyadékok hidrodinamikájában .

A feszültségtenzor a relativisztikus fizikában

A relativitáselmélet szempontjából a feszültségtenzor összetevői az energia-impulzus tenzor kilenc térbeli összetevője .

A feszültségtenzor a klasszikus elektrodinamikában

A klasszikus elektrodinamikában az elektromágneses mező feszültségtenzora ( Maxwell-féle feszültségtenzor [1] , Maxwell-feszültségtenzor [2] ) a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a következőképpen alakul:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

hol az elektromágneses tér energiasűrűsége . $W$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell stressztenzor // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplazma - Poynting tétele. - S. 32-33. — 672 p. - 48.000 példány. — ISBN 5-85270-019-3 .

Irodalom

Sedov L. I. Continuum Mechanics. 1. kötet M.: Nauka, 1970. 492 p.
Truesdell K. A racionális kontinuummechanika kezdeti kurzusa. M.: Nauka, 1975. 592 p.
Dimitrienko Yu. I. Nemlineáris kontinuum mechanika. Moszkva: Fizmatlit, 2010.