Húzás tenzor

A nyúlási tenzor egy olyan tenzor , amely az alakváltozás során a test minden pontján az összenyomódást (nyújtást) és az alakváltozást jellemzi .

A Cauchy-Green nyúlástenzort egy klasszikus kontinuumban (amelynek részecskéi anyagi pontok, és csak három transzlációs szabadságfokkal rendelkeznek) a következőképpen definiáljuk:

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \frac{ \partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)

ahol egy testpont elmozdulását leíró vektor: koordinátái a ( ) deformáció utáni és ( ) előtti közeli pontok koordinátáinak különbsége. A differenciálás koordinátákkal történik a referencia konfigurációban (deformáció előtt). A deformáció előtti és utáni távolságok a következőképpen függenek össze : $\mathbf{u}$ $dx^\prime_i$ $dx_i$ $\varepsilon_{ij}$

dl^{\prime 2} = dl^{2} +2 \varepszilon_{ij}\, dx_i \, dx_j

(az összegzés ismételt indexeken történik).

Definíció szerint a deformációs tenzor szimmetrikus, azaz . $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$

Egyes forrásokban ezt a nyúlástenzort Green-Lagrange nyúlástenzornak, a jobb Cauchy-Green nyúlásmérőt (a kérdéses megkétszerezett nyúlástenzor plusz az egységtenzor) pedig a megfelelő Cauchy-Green nyúlástenzornak nevezik.

A nemlineáris Cauchy-Green deformációs tenzor az anyagi objektivitás tulajdonságával rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy ha egy deformálható test egy darabja merev mozgást végez, akkor az alakváltozási tenzor együtt forog az anyag elemi térfogatával. Kényelmes ilyen tenzorokat használni az anyag konstitutív egyenleteinek felírásakor, ekkor az anyagobjektivitás elve automatikusan teljesül, vagyis ha a megfigyelő a deformálható közeghez képest elmozdul, az anyag viselkedése nem változik (a feszültség tenzor forog a megfigyelő vonatkoztatási rendszerében az anyag elemi térfogatával együtt).

Vannak más objektív nyúlástenzorok is, például az Almansi nyúlástenzor, a Piol, a Finger nyúlástenzorok stb. Némelyikük a referenciakonfigurációban (deformáció előtti) a koordináták mentén történő elmozdulások deriváltjait tartalmazza, néhányuk pedig a koordináták deriváltjai az aktuális konfigurációban (deformáció után).

Az a tény, hogy egy klasszikus folytonos közegben az alakváltozási energia csak a szimmetrikus alakváltozási tenzortól függ, a nyomatékegyensúly törvényéből következik. Az objektív alakváltozás-tenzor bármely egy-egy függvénye objektív alakváltozás-tenzor is lesz. Például (a deformációs tenzor szimmetriája és pozitív meghatározottsága miatt) használhatjuk a Cauchy-Green törzstenzor négyzetgyökét. A konstitutív egyenletek ezen tenzorok felhasználásával történő felállításakor azonban fontos követni a szabad energia (vagy feszültségek) alakváltozási tenzoroktól való függésének természetére vonatkozó feltételezéseket. Nyilvánvaló, hogy a szabad energia differenciálhatóságára vonatkozó feltételezések a Cauchy-Green deformációs tenzorhoz, annak gyökéhez vagy négyzetéhez képest teljesen más anyagok egyenletéhez vezetnek. Az általános forma elmélete, lineáris -ben , kis értékekre csak az első esetben érhető el. $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

Kisebbeknél figyelmen kívül hagyhatjuk a másodfokú tagokat, és használhatjuk a deformációs tenzort a következő formában: $\mathbf{u}$

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)

A lineáris Cauchy-Green nyúlástenzor (előjelig egybeesik az Almansi lineáris nyúlástenzorral) nem rendelkezik az anyagi objektivitás tulajdonságával nagy forgatások esetén, ezért nem használják a nagy alakváltozások irányító egyenleteiben. Kis forgatásokhoz közelítve ez a tulajdonság megmarad.

Az átlós elemek lineáris húzó vagy nyomó alakváltozásokat, az átlótól eltérő elemek nyírási alakváltozásokat írnak le. $\varepsilon_{ij}$

Gömbkoordinátákban

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_\theta}{r} \text{ ctg } \theta + \frac{u_r}{r}

2\varepsilon_{\theta\phi} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial u_\varphi}{\partial \theta} - u_\varphi \text{ctg } \theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_\theta}{\partial \varphi}

2 \varepsilon_{r\theta} = \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\partial \theta }

2 \varepsilon_{\varphi r} = \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_r}{\partial \varphi } + \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} - \frac{u_\varphi}{r}

Hengeres koordinátarendszerben

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z}

2 \varepsilon_{\varphi z} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_\varphi}{\partial z}

2 \varepsilon_{rz} = \frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r}

2 \varepsilon_{r \varphi} = \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} -\frac{ u_\varphi}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\partial \varphi}

Lásd még

Irodalom

Lur'e A. I. A rugalmasság elmélete. M.: Nauka, 1970. - 940 p.
Lur'e AI A rugalmasság nemlineáris elmélete. — M.: Nauka, 1980. — 512 p.
Dimitrienko Yu. I. Nemlineáris kontinuum mechanika. Moszkva: Fizmatlit, 2010, 624 p.