A forradalom szilárd részei

A forgástestek olyan háromdimenziós testek, amelyek egy sík geometriai alakzat forgatása során keletkeznek, amelyet egy görbe határol egy ugyanabban a síkban fekvő tengely körül [ 1] .

Példák a forgástestekre

Golyó - a vágás átmérője körül forgó félkör alkotja
Henger - az egyik oldala körül forgó téglalap alkotja

A henger oldalsó felületének területére a fejlődési területet vesszük:

S_{bok}=2\pi rh

Kúp - az egyik lába körül forgó derékszögű háromszög alkotja

A kúp oldalsó felületének területére a fejlődési területet vesszük:

S_{bok}=\pi rl

A kúp teljes felülete:

S_{full}=\pi r(r+l)

A tórusz egy olyan egyenes körül keringő körből áll, amely nem metszi azt [2]

A figurák kontúrjainak elforgatásakor forgási felület keletkezik (például egy kör alkotta gömb ), míg a kitöltött kontúr elforgatásakor testek keletkeznek (mint egy kör által alkotott golyó ).

A forradalom testeinek térfogata

Forgatás az x tengely körül

Az ábra tengelye körüli elforgatással kialakított test térfogata, amelyet a függvény grafikonja korlátoz az intervallumon , a tengelyen és az egyeneseken , egyenlő: $x$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{x}=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Forgatás az y tengely körül

Az ábra tengelye körüli elforgatással kialakított test térfogata, amelyet a függvény grafikonja korlátoz az intervallumon , a tengelyen és az egyeneseken , egyenlő: $y$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{y}=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx

Guldin tétele

A forgástestek térfogatát és felületét a Guldin-Pappa tételek segítségével is megtalálhatjuk , amelyek a területet vagy térfogatot az ábra tömegközéppontjához kapcsolják .

Az első Guldin-Papp tétel kimondja:

A teljes egészében a forgástengely egyik oldalán síkban elhelyezkedő egyenes forgása során keletkező felület egyenlő az egyenes hosszának és az egyenes tömegközéppontja által bejárt kör hosszának szorzatával .

A második Guldin-Pappa tétel kimondja:

A forgástengely egyik oldalán teljesen síkban fekvő alak forgatása során keletkező test térfogata megegyezik az alakzat területének és a középpont által bejárt kör hosszának szorzatával. ennek az alaknak a tömegéből .

Irodalom

A. V. Pogorelov. "Geometria. 10-11 osztály» 21. § A forradalom testületei. – 2011

Jegyzetek

↑ A. V. Pogorelov. 21. §. Forradalom testei // Geometria. 10-11 óra. – 2011.
↑ Matematika. Encyclopedia for Children 11. kötet ISBN 5-94623-072-7