Szürreális számok

Szürreális számok ( angol szürreális szám ) – a közönséges valós számok és a végtelen sorszámok általánosítása . Először John Conway angol matematikus munkáiban használták őket a játékelmélet számos aspektusának leírására [1] .

Történelem

1907- ben Hans Hahn osztrák matematikus bevezette a "Hahn sorozatot" a formális hatványsorok általánosításaként , a német matematikus pedig Felix Hausdorff néhány rendezett halmazt, az η α -halmazokat az α sorszámokhoz, és megkérdezte, hogy kompatibilis egy rendezett csoport- vagy mezőszerkezettel. 1962 -ben Norman Alling a Hahn-sorozat egy módosított formáját használta bizonyos α sorszámokhoz társított rendezett mezők létrehozásához, és ha α-t az összes ordinális osztályának tekinti konstrukciójában, akkor egy olyan osztályt kap, amely a szürreális számokkal izomorf rendezett mező [2]. .

A yose tanulmányozása a Go játékban elvezette John Conwayt a szürreális számok újabb meghatározásához és felépítéséhez [3] . Conway tervét Donald Knuth 1974-es szürreális számok című könyvében használták. Dialógus formájában megjelenő könyvében Knuth megalkotta a "szürreális számok" kifejezést arra, amit Conway "pusztán számoknak" nevezett [4] . Conway később átvette Knuth kifejezéseit, és használta őket 1976-os Számok és játékok című könyvében.

Conway és Knuth mellett Martin Kruskal matematikus is nagyban hozzájárult a szürreális számok elméletéhez . Abban az időben a szürreális számok már rendelkeztek a valós számok összes alapvető tulajdonságával és műveleteivel, és tartalmaztak minden valós számot, valamint sokféle végtelent és infinitezimálist. Kruskal hozzájárult az elmélet megalapozásához: a szürreális függvények meghatározásához és szerkezetük elemzéséhez [5] . Felfedezte a kapcsolatot a szürreális számok, az aszimptotika és az exponenciális aszimptotika között is. Egy fontos kérdés, amelyet Conway, Kruskal és Norton vetett fel az 1970-es évek végén, és amelyet Kruskal nagy szívóssággal vizsgált, az, hogy minden szürreális függvénynek van-e határozott integrálja . Erre a kérdésre Kostin, Friedman és Erlich nemmel válaszolt 2015-ben [6] . Kostin és munkatársai elemzése azonban azt mutatja, hogy a szürreális függvények meglehetősen széles osztályához vannak határozott integrálok, amelyekre Kruskal aszimptotikus elemzésről alkotott elképzelései alkalmazhatók .

Áttekintés

Conway konstrukciójában [7] a szürreális számok lépcsőzetesen épülnek fel. A szürreális számok a ⩽ bináris relációval egyidejűleg készülnek . Sőt, bármely két szürreális számra és vagy , vagy . (Mindkét egyenlőtlenség érvényesülhet egyidejűleg is, ebben az esetben mindkettő ekvivalens és ugyanazt a számot jelöli.) A számokat úgy alakítjuk ki, hogy a már megszerkesztett számokból egy pár részhalmazt hozunk létre: szürreális számok részhalmazainak párja, és úgy, hogy minden elem szigorúan kisebb, mint az összes elem , határozzon meg egy új számot, amelyet jelöl , miközben ez a szám az összes elem és a minden elemet . $a$ $b$ $a\leqslant {}b$ $b\leqslant {}a$ $a$ $b$ $L$ $R$ $L$ $R$ $\{L\mid {}R\}$ $L$ $R$

Különböző ugyanazésugyanazt a számot akkor is, hadefiniálhatjákésrészhalmazok definiálhatják ugyanazokat a számokat: Tehát szigorúan véve a szürreális számok a forma reprezentációinak ekvivalenciaosztályai az ekvivalenciarelációhoz képest. $\{L\mid {}R\}$ $\{L'\mid {}R'\}$ $L\neq {}L'$ $R\neq {}R'$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$ $\{L\mid {}R\}$

Az építés első szakaszában még nincsenek számok, így csak az üres halmazt használhatja : . Ezt az ábrázolást, ahol és üresek, 0-nak nevezzük. Az ezt követő lépések olyan formákat adnak, mint például: ${\displaystyle \{\mid \))$ $L$ $R$

\{0\mid\}=1

\{1\mid\}=2

\{2\mid\}=3

szintén

\{\mid 0\}=-1

\{\mid -1\}=-2

\{\mid -2\}=-3

Így az egész számok a szürreális számok egy részhalmaza. (A fenti azonosságok definíciók abban az értelemben, hogy a jobb oldal a bal oldal neve). Hasonló módon a következő számok is összeállíthatók:

\{0\mid 1\}={\frac {1}{2))

\{0\mid {\frac {1}{2}}\}={\frac {1}{4}}

\{{\frac {1}{2}}\mid 1\}={\frac {3}{4}}

stb. Így minden diadikus racionális szám (a racionális szám, amelynek nevezője 2 hatványa) szürreális számokban van.

Végtelen számú lépés után végtelen részhalmazok válnak elérhetővé (a szigorúbb definícióhoz a transzfinit indukció fogalma szükséges ), így bármely a valós szám ábrázolható -val , ahol az összes diád racionális szám halmaza kisebb, mint , és összes diadikus racionális szám halmaza, nagy (hasonlóan a Dedekind szakaszhoz ). Így a szürreális számok osztályában valós számok is konstruálhatók. $\{L_{a}\mid {}R_{a}\}$ ${\displaystyle L_{a))$ $a$ $R_{a}$ $a$

Vannak olyan nézetek is, mint

\{0,1,2,3,\ldots \mid \}=\omega

\{0\mid 1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{4)),{\frac {1}{8)),\ldots \}=\varepsilon

ahol egy transzfinit szám nagyobb, mint minden egész, és végtelenül nagyobb, mint 0, de kisebb, mint bármely pozitív valós szám ( hipervalós szám ). Sőt, a szabványos aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás és osztás) kiterjeszthetők ezekre a nem valós számokra oly módon, hogy a szürreális számok halmazát rendezett mezővé alakítják, így beszélhetünk stb . $\omega$ $\varepsilon$ $2\omega$ $\omega-1$

Építkezés

A szürreális számok induktív módon szürreális számpárok ekvivalenciaosztályaiként vannak felállítva, amelyet az a feltétel korlátoz, hogy az első halmaz minden elemének kisebbnek kell lennie a második halmaz bármely eleménél. A konstrukció három, egymással összefüggő részből áll: szerkesztési szabályok, összehasonlítási szabályok és egyenértékűségi szabályok.

Űrlapok

A szürreális szám alakja szürreális számok párja, amelyet bal és jobb oldali halmazainak nevezünk. Az L bal oldali és R jobb oldali halmazú formát { L | R }. Ha L és R elemlistaként adjuk meg, a körülöttük lévő zárójelek elhagyhatók. Az egyik vagy mindkét alakkészlet üres lehet. Űrlap {{} | A {}} bal és jobb üres halmazokkal a { | }.

Száműrlapok

Tervezési szabály

Form { L | R } numerikus, ha L és R metszéspontja az üres halmaz, és R bármely eleme nagyobb, mint L bármely eleme , az alábbi szabály által megadott ⩽ sorrendi összefüggésnek megfelelően.

Számforma ekvivalencia osztályok

A numerikus alakok az ekvivalencia osztályokban találhatók; minden ekvivalenciaosztály egy szürreális szám. Az alak bal és jobb halmazának elemei pontosan a szürreális számok (nem formák, hanem ekvivalencia osztályok) univerzumából [8] származnak.

Egyenértékűségi szabály

Két x és y numerikus alak akkor és csak akkor azonos szám alakja (ugyanabban az ekvivalenciaosztályban van), ha x ⩽ y és y ⩽ x .

Az alábbiakban megadjuk a ⩽ reláció definícióját.

Más szóval, a sorrendi összefüggés antiszimmetrikus , vagyis az x = y kifejezés (vagyis x ⩽ y és y ⩽ x egyaránt igaz) csak akkor kell igaznak lennie, ha x és y ugyanaz az objektum. Ez nem vonatkozik a szürreális számformákra, de igaz a szürreális számokra (ekvivalencia osztályokra).

Egy ekvivalenciaosztály, amelyben a(z) { | } 0-nak nevezzük; is { | } a 0 szürreális szám alakja.

Rendelés

A szürreális alakzatok sorrendjének rekurzív definíciója a következő:

Legyenek x = { X L | numerikus alakok X R } és y = { Y L | Y R }, akkor x ≤ y akkor és csak akkor, ha:

nincs olyan x L ∈ X L , hogy y ⩽ x L (a bal oldali x mindegyik kisebb, mint y ), és
nincs olyan y R ∈ Y R , amelyre y R ⩽ x (a jobb oldali y halmaz minden eleme nagyobb, mint x ).

Az y ⩽ c összehasonlítást egy y alakra és egy c szürreális számra úgy határozzuk meg, hogy a c ekvivalenciaosztályból bármelyik z alakot kiválasztjuk, és ellenőrizzük az y ⩽ z értéket ; hasonlóan c ⩽ x esetén és két szürreális szám b ⩽ c összehasonlításához .

Indukció

Ez a definíciócsoport rekurzív , és némi matematikai indukciót igényel a bennük előforduló objektumok (alakzatok és számok) univerzumának meghatározásához. Az egyetlen szürreális szám, amelyet "véges indukcióval" lehet elérni, a bináris racionális számok . A transzfinit indukció segítségével tágabb univerzum érhető el .

Indukciós szabály

Létezik S 0 = {0}, amelyben 0 egy ekvivalenciaosztály, amely az egyetlen { | }.
Bármely n sorszámhoz van S n - az összes szürreális szám halmaza, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy a szerkesztési szabályt alkalmazzuk az összes részhalmazára . ${\displaystyle \cup _{i<n}S_{i))$

Az alapbetű valójában az indukciós szabály speciális esete, ahol a 0 a "legkisebb sorszám" címkéje. Mivel nincs S i i < 0, a kifejezés az üres halmaz ; az üres halmaz egyetlen részhalmaza az üres halmaz, így S 0 az egyetlen szürreális { | } a 0. ekvivalenciaosztályból. ${\displaystyle \cup _{i<0}S_{i))$

Minden n véges sorszám esetén a halmaz jól rendezett a szürreális számok összehasonlítása szempontjából. $S_{n}$

Az indukciós szabály első alkalmazása három numerikus alakot eredményez { | 0 } < { | } < { 0 | } (A { 0 | 0 } alak nem numerikus, mert 0 ⩽ 0). Egy ekvivalenciaosztály, amely a következőt tartalmazza: { 0 | } jelölése 1, és az ekvivalencia osztály, amely tartalmazza a { | 0}, jelölése −1. Ennek a három jelölésnek különleges jelentése van a gyűrűt meghatározó axiómákban – ezek az összeadássemleges (0), a szorzássemleges (1) és az 1-hez való összeadás inverze (-1). Az alábbiakban definiált aritmetikai műveletek összhangban vannak ezekkel a nevekkel.

Minden i < n esetén a -ben szereplő összes szám benne van (mint azok reprezentációinak szuperhalmazai a -ban ) (A szerkesztési szabályunkban az összes előző egyesítésére szolgáló feltételes kifejezést használjuk az egyszerűbb alak helyett , tehát a definíciónak és ennek a tulajdonságnak akkor is van értelme, ha n határsorrend ). Azok a számok, amelyek valamely szám szuperhalmazát képezik , állítólag „az i . generációból öröklődnek ”. Az α legkisebb értékét, amelyben egy adott szürreális szám megjelenik, "születésnapnak" nevezzük . Például a 0 születésnap 0, a születésnap -1 pedig 1. $S_{i}$ $S_{n}$ $S_{i}$ $S_{{n-1}}$ $S_{n}$ $S_{i}$ ${\displaystyle S_{\alpha ))$

A szerkesztési szabály második iterációja az ekvivalencia osztályok következő sorrendjét adja:

{| -1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1}

< { | 0 } = { | 0, 1} < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1} < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | egy } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | egy } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }.

Ezen ekvivalenciaosztályok összehasonlítása a formaválasztástól függetlenül következetes. Látható, hogy:

Négy új szürreális szám van benne. Közülük kettő "extrém" alakot tartalmaz: { | −1, 0, 1 }, amely a jobb oldali halmazában tartalmazza az előző generációk összes számát, és a { −1, 0, 1 | } - a bal oldali halmazban. Mások olyan űrlappal rendelkeznek, amely az előző generációk összes számát két nem üres halmazra osztja. $S_{2}$
Minden x szürreális szám , amely az előző „generációban” létezett, ebben a generációban is létezik, és legalább egy új alakot kap: az összes szám, kivéve az x számot , az előző generációkból a bal halmazba (minden szám kisebb, mint x ) és a jobb halmaz (minden szám nagyobb, mint x ).
Egy szám ekvivalenciaosztálya csak a bal oldali halmazának maximumától és a jobboldali halmazának minimális elemétől függ.

Informális értelmezések { 1 | } és { | −1 } — „közvetlenül 1 utáni szám” és „–1 előtti szám”; ekvivalenciaosztályukat 2-vel és -2-vel jelöljük. Informális értelmezések { 0 | 1 } és { −1 | 0 } "egy szám félúton 0 és 1 között", illetve "egy szám -1 és 0 között félúton"; Ekvivalencia osztályaik 1/2 és -1/2 címkével vannak ellátva. Ezek a jelölések összhangban lesznek a szürreális összeadás és szorzás alábbi definícióival is.

Az ekvivalenciaosztály minden n lépésben jellemezhető n -teljes alakjával (amely a lehető legtöbb elemet tartalmazza bal és jobb oldali halmazában). Vagy ez a teljes forma tartalmazza az előző generációk minden számát, amely esetben ez az első generáció, amelyben ez a szám előfordul, vagy egy kivételével tartalmazza az összes előző generációból származó számot, amely esetben ez ugyanazon szám új alakja . A "régi" számoknál megtartjuk az előző generációs jelölést, és a sorrendet tovább írjuk a régi és az új jelöléssel:

−2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.

A harmadik megfigyelés minden szürreális számra kiterjed, véges bal és jobb halmazokkal. (A végtelen bal vagy jobb oldali halmazokra ez módosított formában igaz, mivel a végtelen halmazok nem tartalmazhatnak maximum vagy minimum elemet.) A szám {1, 2 | 5, 8} tehát egyenértékű a következővel: {2 | 5}; Megállapítható, hogy ezek a 3. űrlapok az alábbiakban leírt születésnapi tulajdonság használatával, amely a fenti szabályok következménye.

születésnapi ingatlan

Forma x = { L | Az n generációban előforduló R } egy korábbi generációtól örökölt számot jelöl, akkor és csak akkor, ha van olyan szám S i -ben i < n esetén, amely nagyobb L összes eleménél és kisebb R összes eleménél . (Más szóval, ha L -t és R -t egy korábban létrehozott szám választja el, akkor x nem új szám, hanem már felépített.) Ha x az n előtti bármely generációból származó számot jelöl , akkor van egy legkisebb ilyen generáció i és legalább egy y számú boldog születésnapot i , L és R között . x ennek az y számnak az alakja , más szóval az S n -beli ekvivalenciaosztályban található , amely az y reprezentáció szuperhalmaza az i generációban .

Aritmetika

Szürreális számok összeadása , reciproka ( összeadás reciproka), szorzása és reciproka (szorzás reciproka) x = { X L | X R } és y = { Y L | Y R } négy rekurzív képlettel definiálható

Kiegészítés

Az összeadás definícióját a rekurzív képlet adja meg: , ahol $x+y=\{X_{L}|X_{R}\}+\{Y_{L}|Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L} |X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

${\displaystyle X+y=\{x+y:x\in X\},x+Y=\{x+y:y\in Y\))$

Ez a képlet úgy működik, hogy az egyik űrlapot hozzáadja a második űrlap halmazaiból vett számokhoz. Ezt a számekvivalencia osztályból vett bármilyen alakkal végzett művelet eredményeként kell érteni. Ennek természetesen csak akkor van értelme, ha egy ilyen művelet eredménye nem függ a számekvivalencia osztály egy adott képviselőjének választásától. Ez induktív módon három állítás alapján igazolható:

0 + 0 = { | } + { | } = { | } = 0 x + 0 = x + { | } = { X L + 0 | X R + 0 } = { X L | X R } = x 0 + y = { | } + y = { 0 + Y L | 0 + Y R } = { Y L | Y R } = y

(Az utolsó két állítás önmagában is induktív módon bizonyítva az elsőn keresztül, tehát valójában az indukció alapja az első állításra redukálódik)

Szemben lévő szám

Az ellentétes szám x = { X L | X R } jelentése:

${\displaystyle -x=-\{X_{L}|X_{R}\}=\{-X_{R}|-X_{L}\))$

ahol az S számhalmaz ellentéte az S ellentétes elemeinek halmaza:

${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\))$

Az előzőhöz hasonlóan itt is nem az alakok, hanem a számok ellentétét vesszük, és annak bizonyítását, hogy az ellentétszám nem függ alakjának megválasztásától, induktív módon az alappal történik:

-0 = - { | } = { | } = 0.

Továbbá nem említjük meg újra azokat a finomságokat, amelyek a számekvivalencia osztály képviselőjének kiválasztásához kapcsolódnak.

Szorzás

Ebben a képletben vannak olyan kifejezések, amelyek tartalmaznak egy műveletet és egy halmazt, például . Ezt úgy kell érteni, mint egy halmazt, amely a műveletek eredményeinek kiszámításának összes lehetséges eredményéből áll, amikor a kifejezésben szereplő halmazok mindegyikéből egy elemet veszünk, és ha a kifejezés egyik részében egy elemet veszünk a halmazból, akkor ugyanabból a halmazból ugyanannak a kifejezésnek a másik részét ugyanannak az elemnek kell vennie. ${\displaystyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R))$ ${\begin{aligned}xy&=\{X_{L}|X_{R}\}\{Y_{L}|Y_{R}\}=\\&=\left\{X_{L} y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}|X_{L}y+xY_{R}-X_{L }Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\jobbra\}\\\end{igazított}}$

Fellebbezés

A szorzás inverzének felvétele egy számra a következőképpen definiálható: $y$

${\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{ L}}{y_{R}}},{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y}})_{R}}{y_{L}}}{ \Bigg |}{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y)))_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+( y_{R}-y)({\frac {1}{y)))_{R}}{y_{R}}}{\Bigg \}}$ pozitív , és ebben a képletben csak pozitív kifejezések szerepelnek (a többit figyelmen kívül hagyjuk), de mindig pozitívak. $y$ $y_{L}$ ${\displaystyle y_{R))$

Vegye figyelembe, hogy ez a kifejezés, amely definiálja a -t, az azonos számú bal és jobb oldali halmaz elemeit használja . Valójában a definíció induktív: minden új lépésnél új elemeket adnak a bal és jobb oldali halmazokhoz, a már hozzáadottak alapján. [7] :21 Ez teljesen természetes, ha emlékezünk arra, hogy véges halmazokkal csak a diád racionális számok merülhetnek ki. ${\frac {1}{y))$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{L}$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{R}$ ${\frac {1}{y))$

Negatív esetén az inverz definíciója: . $y$ ${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Ha , akkor a szorzás inverze nincs rá definiálva. $y=0$

Konzisztencia

Kimutatható, hogy az összeadás, kivonás és szorzás definíciói konzisztensek abban az értelemben, hogy:

az összeadás és a kivonás rekurzív módon, "egyszerűbb" összeadások és kivonások formájában van definiálva, így az n születési dátummal rendelkező számokkal végzett műveletek teljes mértékben kifejezhetők az n-nél kisebb születési születési dátumú számok összegeivel és különbségeivel;
a szorzás rekurzív módon van definiálva összeadások, kivonások és "egyszerűbb" szorzások formájában, így az n születési dátumú számok szorzatai teljes mértékben kifejezhetők összegekkel és az n-nél kisebb születési dátumú számok szorzataival;
ha az operandusok szürreális számok helyes alakjai (a jobb oldali halmaz minden eleme kisebb, mint a jobb oldali halmaz bármely eleme), akkor az eredmény a szürreális szám helyes alakja is lesz;
minden művelet kiterjeszthető számokra (alak ekvivalencia osztályokra): az x és y számok összeadásának, kivonásának vagy szorzásának eredménye ugyanazt a számot fogja képviselni, függetlenül az x, y alakválasztástól;
ezek a műveletek kielégítik a mező axiómáit: az asszociativitás, a kommutativitás, az ellentétes elem és a disztributivitás axiómáit, semleges elemmel 0 = { | } és egy semleges elem szorzásával 1 = { 0 | }.

A fentiek alapján megbizonyosodhatunk arról, hogy az első néhány generációban talált számokat helyesen nevezték el. Az indukciós szabály továbbra is használható a szürreális számok további generációihoz:

S 0 = { 0 } S 1 = { −1 < 0 < 1} S 2 = { −2 < −1 < − 1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2 } S 3 = { -3 < -2 < - 3 / 2 < -1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 < 0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 < 1 < 3 / 2 < 2 < 3 } S 4 = { -4 < -3 < ... < - 1 / 8 < 0 < 1 / 8 < 1 / 4 < 3 / 8 < 1 / 2 < 5 / 8 < 3 / 4 < 7 / 8 < 1 < 5 / 4 < 3 / 2 < 7 / 4 < 2 < 5 / 2 < 3 < 4 }

Aritmetikai lezárás

Bármely természetes szám (véges sorszám ) esetén minden S n -beli szám diadikus racionális, azaz felírható olyan alak irreducibilis törtrészeként, ahol a és b egész számok, és 0 ≤ b < n . ${\displaystyle {\frac {a}{2^{b))))$

Valamely S n -ben előforduló összes szürreális szám halmaza véges n -nel jelölhető S * = . Három S 0 = { 0 }, S + = és S − = halmaz alkotható , amelyek uniója S * lesz . Nincs S n maga zárt összeadás és szorzás alatt (kivéve S 0 ), de S * az; a racionális számok azon részgyűrűje, amely az összes diadikus racionális számot tartalmazza. $\cup _{n\in N}S_{n}$ ${x\in S_{*}:x>0}$ ${x\in S_{*}:x<0}$

Végtelenül sok β sorszám van, így a β-nál kisebb születési dátummal rendelkező szürreális számok halmaza az aritmetikai műveletek alatt zárva van. [9] Bármely sorszámú α esetén a β = ω α születési dátummal rendelkező szürreális számok halmaza összeadáskor zárva van, és egy csoportot alkot; boldog születésnapot kevesebb, mint ω ω α szorzás alatt zárva van, és gyűrűt alkot [10] ; és boldog születésnapot az ε α epszilonnál kisebb szám az inverz figyelembevételéhez képest zárt és mezőt alkot. Utóbbiak a Kruskal és Gochor által bevezetett exponenciális függvény alá is záródnak. [9] [11] :ch. 10 [9]

Azonban mindig lehetséges a halmaz bármely eleménél nagyobb szürreális szám konstruálása (egy halmaz hozzáadásával a konstruktor bal oldalához), így az összes szürreális szám halmaza a saját osztálya . A sorrenddel és az algebrai műveletekkel együtt rendezett mezőt alkotnak , azzal a figyelmeztetéssel, hogy nem alkotnak halmazt. Valójában ez egy nagyon különlegesen rendezett terület: a legnagyobb. Bármilyen más rendezett mező beágyazható szürreális számokba. Az összes szürreális szám osztályát jelöli . $\mathbf {Nem}$

Végtelen

Definiáljuk S ω -t az összes szürreális szám halmazaként, amelyet az S * részhalmazait használó szerkesztési szabály segítségével kapunk . (Ez ugyanaz az indukciós lépés, mint korábban, és az ω sorszám a legkisebb, nagyobb minden természetes számnál; az indukciós lépésben megjelenő halmazok uniója most véges halmazok végtelen uniója, és ilyen lépést csakis meg lehet tenni az azt lehetővé tevő halmazelméletben). Egy egyedülálló, minden korábbihoz képest végtelenül nagy pozitív szám S ω -ben található :

\omega =\{S_{*}|\}=\{1,2,3,4,...|\}.

S ω olyan objektumokat is tartalmaz, amelyek racionális számok . Például az 1/3 ω-teljes alakja :

{\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3y<1\mid y\in S_{*}:3y>1\}

Ennek az alaknak az 1/ 3-as szorzata bármely 3 -as formával olyan alak, amelynek bal oldali halmaza csak 1-nél kisebb számokat tartalmaz, a jobb oldali halmaz pedig csak 1-nél nagyobb számokat; és a születésnapi tulajdonságból következik, hogy ez a termék az 1-es szám egyik formája.

Nem csak az összes többi racionális szám jelenik meg S ω -ban ; az összes hiányzó valós számot is. Például,

\pi =\{3,{\frac {25}{8)),{\frac {201}{64)),...|4,{\frac {7}{2)),{ \frac {13}{4)),{\frac {51}{16}},...\}

Van egy bizonyos kapcsolat ezen konstrukciók és a Dedekind szakaszok között . Conway alapvetően a szürreális számok összes konstrukcióját írja le a Dedekind szakaszok gondolatának általánosításaként. [12]

S ω egyetlen végtelenje ω és −ω; de vannak más érvénytelen számok az S ω -ben , amelyek a valódiak között vannak. Tekintsük S ω legkisebb pozitív számát :

\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}|S_{+}\}=\{0|1,{\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{ 4)),{\tfrac {1}{8}},...\}=\{0|y\in S_{*}:y>0\}

Ez a szám nagyobb nullánál, de kisebb minden bináris racionális számnál. Ez azt jelenti, hogy ez egy végtelenül kicsi szám , amelyet gyakran ε-vel jelölnek. Az ε ω-teljes alakja (illetve -ε) megegyezik a 0 ω-teljes alakjával, azzal a különbséggel, hogy a 0 benne van a bal (illetve jobb oldali) halmazban. Az egyetlen "igazi" infinitezimálok S ω -ben az ε és ennek ellentéte mellett -ε; ezek összege tetszőleges y diád racionális számmal alkotja az y ±ε számokat, amelyeket S ω is tartalmaz .

Felfedezheti az ω és ε közötti kapcsolatot, ha bizonyos alakokat megszoroz, és megkapja:

ω · ε = { ε · S + | ω · S + + S * + ε · S * }.

Ez a kifejezés csak a halmazelméletben van definiálva, amely lehetővé teszi a transzfinit indukciót -ig . Egy ilyen rendszerben kimutatható, hogy a bal oldali ω ε halmaz összes eleme pozitív végtelenül kicsi szám, a jobb oldali halmaz összes eleme pedig pozitív végtelenül nagy szám, és ekkor ω ε a legrégebbi pozitív szám kell, hogy legyen, azaz 1. Ezért $S_{\omega ^{2}}$

1 / ε = ω.

Egyes szerzők szisztematikusan ω −1 -et használnak az ε szimbólum helyett.

Tartalom S ω

Bármely x = { L | esetén R } S ω -ban az alábbiak közül pontosan az egyik igaz:

L és R egyaránt üres, ebben az esetben x = 0;
R üres, és valamely n ≥0 egész szám nagyobb, mint bármely L -beli szám , ebben az esetben x egyenlő a legkisebb ilyen számmal, n ;
R üres, és nincs n egész szám, amely nagyobb L -beli bármely számnál , ebben az esetben x értéke +ω;
L üres, és néhány n ≤0 egész kisebb, mint bármely R -beli szám , ebben az esetben x egyenlő a legnagyobb ilyen számmal, n ;
L üres, és nincs n egész szám kisebb, mint bármely szám R -ben, ebben az esetben x −ω;
L és R egyaránt nem üres, és:
- néhány y diadikus racionális szám szigorúan L és R között van (nagyobb L és R összes eleménél ), ebben az esetben x egyenlő a legrégebbi ilyen y diádos racionális számmal ;
- nincsenek y diadikus racionális számok , amelyek szigorúan L és R között fekszenek , de néhány diádos racionális szám nagyobb vagy egyenlő L összes eleménél és kisebb R összes eleménél , ebben az esetben x egyenlő y + ε-vel; $y\in L$
- nincsenek szigorúan L és R között elhelyezkedő y diadikus racionális számok , de néhány diádos racionális szám nagyobb L összes eleménél és kisebb vagy egyenlő R összes eleménél , ebben az esetben x egyenlő y - ε-vel; $y\in R$
- minden diadikus racionális szám nagyobb, mint R valamely eleme, vagy kisebb, mint L valamely eleme , ebben az esetben x olyan valós szám, amely nem ábrázolható diadikus racionális számként.

S ω nem algebrai mező, mert nem zárt aritmetikai műveletek alatt; például ω+1, amelynek alakja nem reprezentál egyetlen számot sem S ω -ben . A legnagyobb S ω részhalmaz , amely az aritmetikai műveletek (véges alkalmazásai) alatt zárva van, a valós számok mezeje, amelyet a ±ω, az infinitezimális ±ε és az infinitezimális „szomszédok” y ±ε elvetésével kapunk y nem nullától eltérő diádikus racionálisakból . ${\displaystyle \{1,2,3,4,...|\}+\{0|\}=\{1,2,3,4,...,\omega |\))$

A valós számoknak ez a konstrukciója abban különbözik a klasszikus analízis Dedekind-vágásaitól , hogy az összes racionális szám helyett a diadikus racionális számokkal kezdődik, és természetesen azonosítja az S ω -beli diádos racionális számokat a korábbi generációk alakjaival. ( S ω valós elemeinek ω-teljes alakjai egyértelműen megfelelnek a Dedekind szakaszok segítségével kapott valós számoknak, feltéve, hogy a racionális számoknak megfelelő Dedekind valós számokat olyan alakban ábrázoljuk, amelyben ez a szám nem szerepel sem a bal, sem a jobb halmazok). A racionális számok nem egy speciális, azonosítható szakasz a szürreális számok felépítésében; ezek egyszerűen S ω egy Q részhalmaza, amely tartalmazza az összes x-et úgy, hogy xb = a valamilyen a és néhány nem nulla b esetén, mindkettő az S * -ből származik . Ha megmutatjuk, hogy Q szürreális aritmetikai műveletek alatt zárt, ezzel megmutatjuk, hogy ez egy mező; és megmutatva, hogy Q minden eleme elérhető S * -ból egy véges (legfeljebb kettő, valójában) aritmetikai műveletek láncolatával, beleértve az inverz elemet is, ezzel megmutatjuk, hogy Q szigorúan kisebb, mint az azonosított S ω részhalmaz. a valós számokkal.

Az S ω halmaz ugyanazzal a kardinalitású , mint a ℝ valós számok halmaza. Ezt úgy tudjuk kimutatni, hogy S ω -ből a ℝ-ben lévő zárt egységnyi I intervallumra szürjektív leképezéseket készítünk, és fordítva. A leképezés S ω -ről I -re triviális; az ε-nál kisebb vagy egyenlő számokat (beleértve a −ω-t) 0-ra, az 1-ε-nál nagyobb vagy egyenlő számokat (beleértve az ω-t is) 1-re, az ε és 1−ε közötti számokat pedig az I -ben lévő megfelelőikre (végtelenül közeli szomszédok leképezése ). minden y diadikus racionális szám y ±ε-je magával y-vel együtt az y - ban ) . Az I -nek S ω -re való leképezéséhez az I halmaz középső (nyitott) harmadát (1/3, 2/3) képezze le { | } = 0; középső harmada (7/9, 8/9) a jobb maradék harmadból { 0 | } = 1; stb. Ez az összes ilyen intervallumot leképezi az S * összes elemére , és monoton módon. Az I-ben marad a 2 ω Cantor halmaz , amelynek minden pontját egyedileg határozzuk meg úgy, hogy a középső harmadokat balra és jobbra bontjuk, ami pontosan megfelel az { L | R } S ω -be . Ez a Cantor-halmazt egy az egyhez megfeleltetésbe hozza a szürreális születésnapi számok ω halmazával.

Transzfinit indukció

Folytatva az S ω transzfinit indukcióját , új α sorszámokat kapunk, amelyek mindegyikét a legnagyobb szürreális születésnapi α szám képviseli. (Lényegében ez az ordinális definíciója a transzfinit indukció eredményeként.) Az első ilyen ordinális: ω+1 = { ω | }. Van egy másik új pozitív végtelen szám is az ω+1 generációban:

ω−1 = { 1, 2, 3, 4, … | ω}.

Az ω−1 szürreális szám nem sorszám; az ω sorszám nem követ egyetlen sorszámot sem. Ez egy szürreális szám, amelynek születésnapja ω+1, ω−1-nek hívják, mert megegyezik az ω = { 1, 2, 3, 4, … számok összegével | } és −1 = { | 0}. Hasonlóképpen, két új infinitezimális van az ω+1 generációban:

2ε = ε + ε = { ε | 1+ε, 1/2 +ε, 1/4 + ε , 1/8 + ε , … } és ε/2 = ε · 1/2 = { 0 | ε}.

A transzfinit indukció egy későbbi szakaszában bármely k természetes szám esetén megjelenik egy ω + k - nál nagyobb szám :

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, … | }

Ezt a számot ω + ω-nak nevezik, mert születési dátuma ω + ω (az első sorszám, amely nem származik ω-ből a következő szám többszörösével), és mert egybeesik ω és ω szürreális összegével; 2ω-nak is nevezhetjük, mert megegyezik az ω = { 1, 2, 3, 4, … számok szorzatával | } és 2 = { 1 | }. Ez a második határérték; ω-ből való származtatása a szerkesztési szabály segítségével transzfinit indukciót igényel -on . Ehhez végtelen halmazok végtelen uniója szükséges, ami "erősebb" halmazelméleti művelet, mint bármi, ami korábban a transzfinit indukcióhoz szükséges volt. ${\displaystyle \bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k))$

Vegyük észre, hogy a rendszámok közönséges összeadásának és szorzásának eredménye nem mindig esik egybe e műveletek szürreális reprezentációival való végrehajtásának eredményével. Az 1 + ω sorszámok összege egyenlő ω-vel, a szürreális összeg pedig kommutatív, és 1 + ω = ω + 1 > ω igaz rá. Az ordinálisoknak megfelelő szürreális számok összeadása és szorzása egybeesik a sorszámok természetes összegével és természetes szorzatával .

Ahogyan 2ω nagyobb, mint ω + n bármely n természetes szám esetén , van egy ω/2 szürreális szám, amely végtelenül nagy, de kisebb, mint ω − n bármely n természetes szám esetén . ω/2 a következőképpen van definiálva

ω/2 = { S * | ω − S * },

ahol a jobb oldalon az x − Y jelölést az { x − y : y Y - ban } értelmében használjuk. Ez egybeesik ω szorzatával és a { 0 | alakkal 1 } számok 1/2 . Az ω / 2 szám születési dátuma az ω2 határérték (vagy ennek megfelelően ω + ω).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vekshenov S. A. § 2. A kettősség matematikája. 2.1 Szürreális számok // Metafizika. Század XXI. Évkönyv. 4. szám Metafizika és matematika / Összeállította és szerkesztette: Yu. S. Vladimirov. - M . : "Binom. Tudáslaboratórium ", 2014. - P. 101. - ISBN 9785457525504 . Archiválva : 2017. augusztus 31. a Wayback Machine -nál
↑ Alling, Norman L. (1962), A valós zárt mezők létezéséről, amelyek η α -hatványkészletek ℵ α , Transz. amer. Math. szoc. T. 103: 341–352 , DOI 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X .
↑ O'Connor, J. J. & Robertson, E. F., Conway Biography , < http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html > . Letöltve: 2008. január 24. Archiválva : 2008. január 13. a Wayback Machine -nél
↑ Knuth, 2014 .
↑ Gyászjelentések: Martin David Kruskal (a link nem érhető el) . Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság (2007. április 11.). Az eredetiből archiválva: 2011. április 10. (határozatlan)
↑ Costin, Ovidiu; Ehrlich, Philip & Friedman, Harvey M. (2015), Integration on the Surreals: a Conway, Kruskal and Norton sejtése, arΧiv : 1505.02478 [math.LO].
↑ 1 2 Conway, John H. A számokról és a játékokról . - 2. - CRC Press , 2000. - ISBN 9781568811277 . Archiválva : 2021. április 28. a Wayback Machine -nél
↑ A továbbiakban az univerzum szót használjuk a halmaz szó helyett, mivel a szürreális számok nem alkotnak halmazokat, és az osztály szó használata zavart kelthet az ekvivalencia osztályokkal.
↑ 1 2 3 van den Dries, Lou; Ehrlich, Philip. Szürreális számok és hatványozás mezői (angol) // Fundamenta Mathematicae : folyóirat. - Warszawa: A Lengyel Tudományos Akadémia Matematikai Intézete, 2001. - Január ( 167. köt. , 2. szám ). - 173-188 . o . — ISSN 0016-2736 . doi : 10.4064 / fm167-2-3 . Az eredetiből archiválva : 2016. október 21.
↑ A diadikus racionális számok halmaza alkotja a legegyszerűbb nem triviális csoportot és egy ilyen gyűrűt; szürreális számokból áll, amelyek születési dátuma kisebb, mint ω = ω 1 = ω ω 0 .
↑ Gonshor, Harry. Bevezetés a szürreális számok elméletébe . - Cambridge University Press , 1986. - Vol. 110.- (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 9780521312059 . - doi : 10.1017/CBO9780511629143 .
↑ Conway ezt a gondolatot írja le előadásában , amely archiválva : 2020. november 9., a Wayback Machine körülbelül 0:16:30 és 0:19:30 között

Irodalom

oroszul

Knut D. E. Szürreális számok = Szürreális számok / Fordította N. Shikhov. - M . : "Binom. Tudáslaboratórium”, 2014. — 112 p. - 1000 példányban. — ISBN 978-5-9963-1541-3 .

más nyelveken

Donald Knuth eredeti kiállítása: Szürreális számok: Hogyan fordult két volt diák a tiszta matematikához, és találta meg a teljes boldogságot , 1974, ISBN 0-201-03812-9 . További információk a könyv hivatalos honlapján találhatók .
A klasszikus 1976-os könyv frissítése, amely meghatározza a szürreális számokat, és feltárja a játékokkal való kapcsolatukat: John Conway, On Numbers And Games , 2. kiadás, 2001, ISBN 1-56881-127-6 .
Az 1981-es könyv első részének frissítése, amely szürreális számokat és játékok elemzését mutatta be a szélesebb közönségnek: Berlekamp, Conway és Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays , vol. 1, 2. kiadás, 2001, ISBN 1-56881-130-6 .
Martin Gardner , Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8 , 4. fejezet. Nem műszaki áttekintés; az 1976-os Scientific American cikk reprintje.
Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers" , Discover , 1995. december.
A szürreális számok részletes kezelése: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields , 1987, ISBN 0-444-70226-1 .
A szürreális feldolgozás a jel-kiterjesztés megvalósításán alapul: Harry Gonshor, Bevezetés a szürreális számok elméletébe , 1986, ISBN 0-521-31205-1 .
A szürreális számok fogalmának részletes filozófiai kidolgozása a szám legáltalánosabb fogalmaként: Alain Badiou , Number and Numbers , New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (papírkötés), ISBN 0-7456- 3878-3 (kemény kötés).

Linkek

Kirillov A., Klumova I., Sosinsky A. Szürreális számok // Kvant : folyóirat. - M . : Nauka , 1979. - 11. sz . - S. 2-9 . — ISSN 0130-2221 .
AN Walker. Hackenstrings, és a 0,999... ?= 1 GYIK ( link nem érhető el) . MathsNet (1999). Hozzáférés dátuma: 2017. június 4. Az eredetiből archiválva : 2001. december 24.
Mennydörgő Claus. Szürreális számok – Bevezető 1.7-es verzió (eng.) (pdf). tondering.dk (2019. január 31.). Letöltve: 2019. február 24. Az eredetiből archiválva : 2015. november 21..
Szürreális szám (angol) . PlanetMath . Letöltve: 2017. június 4. Az eredetiből archiválva : 2011. december 1..
Szürreális számok . Good Math, Bad Math (2007. május 3.). — Cikksorozat a szürreális számokról és azok változatairól. Letöltve: 2017. június 4. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 12.
John Conway: Szürreális számok – Hogyan vezetett több számhoz a játék, mint azt bárki valaha is gondolta a YouTube- on

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion