Konvergencia szinte mindenhol

Egy függvénysorozat szinte mindenhol határfüggvényhez konvergál , ha annak a ponthalmaznak , amelyre nincs konvergencia, nulla mértéke van [1] .

Definíció

Legyen szóköz mértékkel , és . Azt mondják, hogy szinte mindenhol összefolyik, és azt írják - a.e. ha [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\to f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Valószínűségi terminológia

Ha van egy valószínűségi tér , és olyan valószínűségi változók , hogy $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ jobb)=1

akkor azt mondjuk, hogy a sorozat szinte biztosan konvergál a [2] -hez . $\{Y_{n}\}$ $Y$

A konvergencia tulajdonságai a.e.

A pontszerű konvergencia nyilvánvalóan szinte mindenhol konvergenciát jelent.
Legyen , hol és szinte mindenhol konvergáljon . Legyen olyan függvény is, hogy mindenre és majdnem mindenre (összegezhető majorant ). Aztán és be . Anélkül, hogy a priori feltételeznénk az integrálható majoráns létezését, a konvergencia szinte mindenhol (sőt mindenhol) nem jelent konvergenciát a -ban . Például egy függvénysorozat szinte mindenhol 0-hoz konvergál, de nem konvergál a -n . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $f$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\X-ben$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\to f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
A konvergencia szinte mindenhol mértékbeli konvergenciát von maga után, ha a mérték véges. A végtelen mértékû terekre ez nem igaz [3] .

Lásd még

Szinte mindenhol

Jegyzetek

↑ 1 2 Dyachenko, Uljanov, 1998 , p. 55. §13. konvergencia szinte mindenhol.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , p. 313 A konvergencia szinte biztos.
↑ Dyachenko, Uljanov, 1998 , p. 57 13.2. Tétel (Riesz példa).

Irodalom

Dyachenko M. I., Uljanov P. L. Mérték és integrál . - M . : "Faktoriális", 1998.
Matematikai enciklopédia / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Véletlen változó - Cell).