Konvergencia ráta

A konvergencia sebessége az egyenletek megoldására és az optimalizálásra szolgáló numerikus módszerek fő jellemzője .

A konvergencia mértékének fogalma

Legyen valamely algoritmus közelítéseinek konvergens sorozata az egyenlet gyökerének vagy a függvény szélsőértékének megtalálására , akkor: $\left\{x_{n}\right\}$ $x^{*}$

Egy módszerről azt mondjuk, hogy lineáris konvergenciája van, ha . $\exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||$

Egy módszerről azt mondjuk, hogy fokkonvergenciája $\beta$ van, ha . ${\displaystyle \exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta ))$

Vegye figyelembe, hogy a módszerek konvergenciája általában nem haladja meg a négyzetes értéket. Ritka esetekben a módszer köbös konvergencia rátával rendelkezhet ( Csebisev-módszer ).

Gyakorlati meghatározás

Legyen a vizsgált algoritmus közelítéseinek sorozata valamilyen egyenlet gyökerének megtalálásához, akkor a konvergencia sebességét az egyenletből határozzuk meg: $\left\{x_{n}\right\}$ $x^{*}$ $\beta$

${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta ))$

Az egyszerűség kedvéért a következőképpen van átírva:

$\log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||$

A konvergencia sebességét közvetlenül becsüljük meg a logaritmikus függőség meredekségének tangenséből . $||x_{n}-x^{*}||$ $||x_{n-1}-x^{*}||$

Irodalom a témában

Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Számítási módszerek mérnökök számára. - M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Numerikus módszerek. - 8. kiadás - M . : Alapismeretek Laboratóriuma, 2000.
Volkov E. A. Numerikus módszerek. — M. : Fizmatlit, 2003.