Szimbolikus dinamika

A szimbolikus dinamika a dinamikus rendszerek egy osztályának egyesítő neve , amelynél a fázistér pontjai a „szimbólumok” valamilyen véges ábécéjének sorozatai, és a leképezés abból áll, hogy a sorozatot egy szimbólummal balra toljuk.

A legegyszerűbb példa a Bernoulli- és a Markov-eltolás . A szimbolikus dinamika akkor is felmerül, ha a sors megjelenítését vizsgáljuk .

Alapvető példák

Bernoulli műszak

Legyen a sorozatok tere az ábécében , azaz $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\pontok ,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\ itt: \{1,\dots ,s\}\}.

A Bernoulli-eltolás egy dinamikus rendszer , ahol a balra eltolás leképezése, $(\Sigma _{s}^{{+}},\sigma )$ $\sigma$

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

Figyelembe vesszük a balra eltolás leképezését is a kétoldali végtelen sorozatok terén

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty }}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\pontok ,s\}\};

az így létrejövő dinamikus rendszert Bernoulli-eltolódásnak is nevezik. Ha szükséges, annak tisztázása érdekében, hogy melyik rendszerre gondolunk, az első rendszert egyoldali Bernoulli-eltolásnak , a másodikat pedig kétoldalinak nevezzük . $(\Sigma _{s},\sigma )$

Markov shift

Destiny Mapping

Ha egy dinamikus rendszer fázisterét diszjunkt halmazok uniójára osztjuk,

X=\bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

bármely pont a sorsához köthető - a halmazok számsorozata, amelyet a pályája meglátogat: $x\X-ben$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Sőt, az irreverzibilis dinamikus rendszerek esetében a sorrend egyoldalú, azaz. , és reverzibilis rendszerek esetén általában kétoldali végtelen sorozatokat veszünk figyelembe, . $(i_{k})$ $k=0,1,2,\pont$ $k\in \mathbb{Z }$

A (*) képlettel megadott leképezést sorsleképezésnek ( amely a fázistér adott felosztásának felel meg ) nevezzük . Egy ilyen leképezés automatikusan kielégíti a relációt $h:X\Sigma _{N}$ $h:X\Sigma _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Bár a sorstérkép eleve nem szürjektív, nem injektív és nem is folytonos, gyakran használják különféle leképezések ragozásainak vagy félig ragozásainak szerkesztésére. Abban az esetben, ha a sorsleképezés injektív, a dinamika szimbolikus kódolásáról beszélünk - hiszen a leképezés alkalmazása egy ilyen „koordinátacsere” a szimbolikus téren vagy annak részéről dinamikává alakul . $\Sigma _{N}$

Tulajdonságok

Példák

Invariáns mértékek

Irodalom

P. Billingsley, Ergodic elmélet és információ.
V. I. Arnold, D. V. Anosov, Yu. S. Ilyashenko és munkatársai, Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe a legújabb vívmányok áttekintésével / Per. angolról. szerk. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .