A legenda szimbóluma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Legendre szimbólum a számelméletben használt függvény . A. M. Legendre francia matematikus vezette be . A Legendre szimbólum a Jacobi szimbólum speciális esete , amely viszont a Kronecker-Jacobi szimbólum speciális esete , amelyet néha Legendre-Jacobi-Kronecker szimbólumnak is neveznek.

Definíció

Legyen a egész szám, p pedig 2-től eltérő prím . A Legendre szimbólum meghatározása a következő: $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\jobb)$

$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0$ , ha a osztható p -vel ;
$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1$ , ha a egy másodfokú maradék modulo p (vagyis van olyan x egész szám , hogy ), de a nem osztható p -vel ; $x^{2}\equiv a{\pmod p}$
$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ , ha a négyzetes nemmaradék mod p .

Tulajdonságok

Sokféleség : . A multiplicativitás nyilvánvaló tulajdonságai is a következők: $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\ jobb)$
- ha nem osztható -vel , akkor $a$ $p$ $\left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1;$
- ha kanonikus prímtényezős , akkor $a=p_{1}^{{\alpha _{1}}}\cdot p_{2}^{{\alpha _{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{\alpha _ {k}}}$ $a$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {p_{1}}{p}}\right)^{\alpha _{1}{\pmod {2}}}\cdot \left({\frac {p_{2}}{p}}\jobbra)^{\alpha _{2}{\pmod {2}}}\cdot \ldots \cdot \left ({\frac {p_{k}}{p}}\jobbra)^{\alpha _{k}{\pmod {2}}}.$
Ha , akkor $a\equiv b{\pmod p}$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right).$
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1.$
Gauss Lemmája a kvadratikus maradványokról .
Euler-kritérium :

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}.

Ha , akkor: $p\neq 2$

\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}

(az Euler-kritérium speciális esete);

\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}.

Bizonyíték

Ha és páratlan, akkor , és páros, és fordítva. Ezért $x<{\frac {p}{2))$ $x$ $px>{\frac {p}{2))$ $px$

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}=$

$=(-(-1))\cdot 2\cdot (-(-3))\cdot 4\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p- 1}{2}}}\right)}\right)\equiv$

$\equiv (-{\color {kék}{(p-1))))\cdot {\color {piros}{2}}\cdot (-{\szín {kék}{(p-3)) }})\cdot {\color {red}{4}}\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p-1}{2}}}\right)} \jobbra){\pmod {p}}\ ,$

ahol az utolsó szorzatban a jelek alatti számok párosak, és minden páros szám előfordul. Így, jelölve , van $s={\frac {p-1}{2))$

$s!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}\equiv$

$\equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }\cdot {\color {piros}{2}}\cdot {\color {piros}{4}}\ cdot \ldots \cdot {\color {kék}{(p-3)}}\cdot {\color {kék}{(p-1)))=(-1)^{\lfloor {(s+1) /2}\rfloor }\cdot 2^{s}(s!){\pmod {p}}$

Ezért , ami Euler kritériuma szerint bizonyítja az állítást. $2^{s}\equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }=(-1)^{\frac {s(s+1)}{2} }=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$

A reciprocitás másodfokú törvénye : Legyenek p és q egyenlőtlen páratlan prímek, akkor $\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2 ))}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right).$
Ha , akkor $p\equiv q{\pmod {4\cdot a))$

\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {a}{q}}\right)

A számok pontosan felének a Legendre szimbóluma 1, a másik felének pedig -1. $p\neq 2$ $1\leqslant a\leqslant p-1$

Irodalom

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai . - Moszkva: GITTL, 1952. - P. 180. - ISBN 5-93972-252-0 .

Karakterek a számelméletben és a csoportelméletben
Másodfokú karakterek	A legenda szimbóluma Jacobi szimbólum Kronecker szimbólum - Jacobi
Az erőmaradékok karakterei	A köbös maradék természete A bikvadratikus maradék természete Teljesítmény maradék szimbólum