Levi-Civita szimbólum

A Levi-Civita szimbólum a tenzorelemzésben használt matematikai szimbólum . Nevét Tullio Levi-Civita olasz matematikusról kapta . Kijelölve . Itt van egy háromdimenziós tér szimbóluma, más dimenzióknál az indexek száma változik (lásd lent). $\varepsilon_{ijk}$

Más nevek:

abszolút antiszimmetrikus egységtenzor ,
a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor ,
teljesen ferde-szimmetrikus objektum ,
a Levi-Civita tenzor (a Levi-Civita szimbólum ennek a tenzornak a komponens jelölése),
ferde-szimmetrikus Kronecker-szimbólum (ezt a kifejezést Akivis és Goldberg tenzorszámításról szóló tankönyvében használták).

Definíció

Háromdimenziós térben, jobbra ortonormális alapon (vagy általában jobb alapon a metrika egységdeterminánsával ) a Levi-Civita szimbólum a következőképpen definiálható:

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

vagyis az i , j , k indexek páros permutációja esetén egyenlő 1-gyel (hármas (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) esetén, páratlan permutáció esetén egyenlő -1-gyel ( (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3) hármasoknál), más esetekben pedig nullával (ismételt indexek). A bal oldali bázis komponenseihez ellentétes számokat veszünk. $\varepsilon_{ijk}$

Általános esetben (tetszőleges ferde koordináták jobb oldali bázisvektorokkal) ezt a definíciót általában a következőre módosítják:

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g)),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{esetek}}

ahol a metrikus tenzor mátrixának determinánsa , amely a bázis által átívelt paralelepipedon térfogatának négyzete. A bal oldali bázis komponenseihez ellentétes számokat veszünk. $g$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

Egy ilyen komponenshalmaz egy (igaz) tenzor . Ha – ahogy az irodalomban néha megteszik – a fenti képleteket bármely – jobb és bal – koordinátarendszer definíciójaként használjuk, akkor az eredményül kapott számkészlet egy pszeudotenzort képvisel . Ebben az esetben ez ugyanaz lesz, de cserével $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk))$ ${\sqrt {g))$ $1/{\sqrt {g}).$

$\varepsilon_{ijk}$ definiálható azon bázisvektorok vegyes szorzataként is, amelyekben a szimbólumot alkalmazzuk:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Ez a meghatározás bármely jobb vagy bal bázisra vonatkozik, mivel a bal és jobb oldali bázisok előjelkülönbsége a vegyes szorzatban van. Az egyes nem nulla komponensek abszolút értéke megegyezik a bázis által átfogott paralelepipedon térfogatával . A tenzor a várakozásoknak megfelelően antiszimmetrikus bármely indexpárhoz képest. A definíció megegyezik a fentiekkel. $\{{\vec {e_{i))}\}$

Néha a Levi-Civita szimbólum egy alternatív definícióját használják szorzó nélkül bármely bázisban (vagyis úgy, hogy minden összetevője mindig egyenlő ±1-gyel vagy 0-val, mint a fenti definícióban az ortonormális bázisoknál). Ebben az esetben ez önmagában nem egy tenzor reprezentációja. Az objektummal megszorozva (amely egybeesik a fenti definícióban szereplővel és tenzorként) ebben az esetben egy másik betűvel jelöljük, és általában térfogatelemnek nevezik . Itt Levi-Civita definícióját követjük. (Ez a megjegyzés nem csak a háromdimenziós térre érvényes, hanem bármely dimenzióra is.) ${\sqrt {g))$ ${\sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Geometriai érzék

Amint az már a vegyes terméken keresztüli definícióból is látható, a Levi-Civita szimbólum egy orientált térfogathoz és egy orientált területhez kapcsolódik, amelyet vektorként ábrázolnak.

A háromdimenziós (euklideszi) térben három vektor vegyes szorzata

V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}

a paralelepipedon egy orientált térfogata ( egy pszeudoszkalár , amelynek modulusa megegyezik a térfogattal, és az előjel a vektorok hármasának orientációjától függ) a paralelepipedon három vektorral , és . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Két vektor vektorszorzata

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

egy olyan paralelogramma orientált területe, amelynek oldalai vektorok és , amelyet egy pszeudovektor ábrázol, amelynek hossza egyenlő a területtel, és iránya merőleges a paralelogramma síkjára. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Ez a jelentés bármely n térdimenzióra megmarad , ha természetesen megfelelő számú indexszel vesszük, térfogaton az n -dimenziós térfogatot értjük , a terület alatt pedig - ( n − 1) -dimenziós (hiper- ) terület. Ebben az esetben természetesen a megfelelő képlet n és ( n − 1) vektort – faktort tartalmaz. Például egy 4 dimenziós (euklideszi) térhez: $\varepsilon$

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Tulajdonságok

Egy 3×3-as A mátrix determinánsa felírható (itt a standardot értjük , és innen az ortonormális bázist ) ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Két térvektor vektorszorzatát ezen a szimbólumon keresztül írjuk le: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , hol vannak a komponensei és bázisvektorok. $c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec {e}}^{i}$
A vektorok vegyes szorzata is: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
A következő képletben a Kronecker szimbólumot jelöli : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$
Egy közös index összegzése adja $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _ {km}.$
Két megosztott index esetén a tenzor a következőképpen omlik össze: $i,j$ $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Itt mindenhol ortonormális alap esetén minden index egyszerűen átírható alacsonyabbra.)

Általánosítás n méret esetére

A Levi-Civita szimbólum könnyen általánosítható tetszőleges számú, egynél nagyobb dimenzióra, az index - permutációk paritásának meghatározásával:

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{mátrix}\!\\\!\\\!\end{mátrix}}\jobbra.$	$+{\sqrt{g}),$ ha a halmaznak páros permutációja van ${\megjelenítési stílus (i,j,k,l,\pontok )}$ $(1,2,3,4,\pontok );$
	$-{\sqrt{g}),$ ha van a halmaznak páratlan permutációja ${\megjelenítési stílus (i,j,k,l,\pontok )}$ $(1,2,3,4,\pontok );$
	$0$ ha legalább két index azonos.

Vagyis egyenlő a permutáció előjelével (szignumával) , megszorozva a metrika determinánsának gyökével abban az esetben, ha az indexek olyan értékeket vesznek fel, amelyek megvalósítják a halmaz permutációját, más esetekben pedig nulla . (Mint látható, az indexek száma megegyezik a tér méretével .) ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\))))$ ${\megjelenítési stílus (1,2,3,\pontok ,n)}$ $n$

Pszeudoeuklideszi terekben , ha a metrika aláírása olyan, hogy , akkor általában helyette használjuk, hogy valódi legyen. $g<0$ $-g$ ${\sqrt {g))$
Minden olyan dimenzióban, ahol a Levi-Civita szimbólum definiálva van, tenzort jelent (ez főleg azt jelenti, hogy biztosítani kell, hogy a szimbólumindexek száma megegyezzen a tér méretével). Ezen túlmenően, amint az a fentiekből is kitűnik, a Levi-Civita szimbólum szokásos definiálásakor nehézségek adódhatnak olyan terekben, ahol a metrikus tenzor nincs definiálva, vagy mondjuk, vagy . $\det {\{g_{ij}\}}=0$ $\det {\{g^{ij}\}}=0$

Kimutatható, hogy a mérések a háromdimenzióshoz hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek: $n$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- ami annak a ténynek köszönhető, hogy a halmaznak permutációi vannak , és ezért ugyanannyi nem nulla indexű komponens van .

n!

{\megjelenítési stílus (1,2,3,\pontok ,n)}

\varepsilon

n

$\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\pontok \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\pontok \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\pontok \\\vpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok \\ \end{vmatrix}}.$

A determináns kiterjesztése után megjelenik egy szorzó, és a megfelelő Kronecker-szimbólumokban egyszerűsítéseket hajtanak végre.

n!

Két vektor pszeudo-skaláris szorzata kétdimenziós térben: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j} .$

A méretmátrix meghatározója kényelmesen felírható a -dimenziós Levi-Civita szimbólummal $A$ $n\szer n$ $n$ $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

ami valójában csak a determináns (az egyik leggyakoribb) definíciója újraírva ezzel a szimbólummal. Itt az alapot szabványnak tekintjük, és a nullától eltérő összetevők itt veszik fel az értékeket .

\varepsilon _{ijk\ldots }

\pm 1

A darabok ( -dimenziós) vektorok keresztszorzatának közvetlen -dimenziós általánosítása : $n$ $n-1$ $n$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

hol vannak összetevői és bázisvektorai. (A rövidség kedvéért ide írjuk fel a kovariáns komponensek kifejezését és a duális bázis kiterjesztését.)

p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec {f}}^{i}

A darabok ( -dimenziós) vektorok vegyes szorzatának közvetlen -dimenziós általánosítása : $n$ $n$ $n$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Nem indexelt jelölés ( n méretre)

A nem indexelt tenzorjelölésben a Levi-Civita szimbólumot a Hodge csillagnak nevezett kettősségi operátor helyettesíti , vagy egyszerűen a csillag operátor:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots ,j_{k}}}\varepszilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{nk}}}}

(tetszőleges tenzorra, az Einstein összegzési szabály alapján ). $\eta ,$

Lásd még

Linkek

Hermann R. (szerk.), Ricci és Levi-Civita tenzorelemző tanulmányai , (1975) Math Sci Press, Brookline (a szimbólumok meghatározását lásd a 31. oldalon).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Lásd a 3.5. bekezdést a tenzorok általános relativitáselméletben való alkalmazásának áttekintéséért ).
Orosz fordítás: C. Mizner, K. Thorn, J. Wheeler, Gravity . - M . : Mir, 1977 (Lásd az indexet - Levi-Civita tenzor).
Dimitrienko Yu. I., Tenzorszámítás , M .: Felsőiskola, 2001. - 575 p.