Levi-Civita csatlakozás

A Levi-Civita kapcsolat (vagy a metrikához kapcsolódó kapcsolat ) a Riemann-féle sokaság egyik fő szerkezete. Természetes módot ad a vektormezők megkülönböztetésére egy Riemann-féle sokaságon ; egyenértékű a kovariáns differenciálás , valamint a görbék mentén történő párhuzamos transzláció megadásával . Nevét Tullio Levi-Civita olasz matematikusról kapta .

Definíció

A Levi-Civita kapcsolat egy nulla torziós affin kapcsolat egy Riemann -féle (vagy pszeudo-Riemann- ) sokaságon , amelyhez képest a metrikus tenzor kovariánsan állandó. $M$

Vagyis a Riemann-féle sokaságon lévő affin kapcsolatot Levi-Civita kapcsolatnak nevezzük, ha az alábbi két feltétel teljesül: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemanni) bármely vektormezőre , , igaz , ahol az irányú deriváltot jelöli . $x$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y;\;Z))$ $g(Y,Z)$ $x$
(torzió hiánya) bármely vektormezőre és , ahol a vektormezők Lie zárójelei és . $x$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X,\;Y]$ $x$ $Y$

Tulajdonságok

Bármely Riemann-féle (és pszeudo-Riemann-féle) sokaság egyedi Levi-Civita kapcsolattal rendelkezik; ezt az állítást néha a Riemann-féle geometria alaptételének is nevezik .

Lásd még

Irodalom

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Bevezetés a Riemann-féle geometriába. - Szentpétervár: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .