Az öngenerált számok olyan számok, amelyeket nem lehet előállítani úgy, hogy a számjegyeinek összegéhez hozzáadunk egy másik számot, úgynevezett generátort.
Tekintsünk egy eljárást, amelyet Kaprekar számjegyösszeadásnak nevez . Válasszunk ki egy tetszőleges egész számot, és adjuk hozzá a számjegyeinek összegét. Például, ha a 47-es számot választjuk, akkor a számjegyeinek összege 4 + 7 = 11 és 47 + 11 = 58. Az új 58-as számot generált számnak , az eredeti 47-es számot pedig generátorának nevezzük . A folyamat korlátlanul megismételhető, digitális összeadással generált sorozatot alkotva 47, 58, 71, 79, ...
A sorozat tagjainak részösszegének nem rekurzív képlete nem ismert, de létezik egy egyszerű képlet a benne lévő számjegyek összegére: vonjuk ki az első számot az utolsóból, és adjuk hozzá a számok összegét. az utolsó szám számjegyei.
A generált számoknak egynél több generátora lehet. Az egynél több generátorral rendelkező legkisebb szám (Kaprekar az ilyen számokat vegyületeknek nevezi ) a 101, és két generátora van: 91 és 100. A legkisebb összetett szám három generátorral 10 000 000 000 001, és a 10 000 000 000 999 991 991 991 000 számok generálják. 999 999 999 892. A Kaprekar által 1961. június 7-én felfedezett legkisebb négy generátoros szám 25 számjegyű: 10 24 + 102. Így a legkisebb számok n=2, 3, ... generátorral egy sorozatot alkotnak:
101, 10000000000001, 100000000000000000000102, … ( A006064 sorozat az OEIS -ben )Kaprekarnak sikerült felfedeznie, ahogy ő javasolja, a legkisebb számkapcsolatokat 5 és 6 generátorral.
A saját generált szám olyan szám, amelynek nincs generátora, Kaprekar szavaival élve „magát generálja”. Végtelenül sok saját generált szám létezik, de ezek sokkal ritkábbak, mint a generált számok. A saját generált számok sorozatot alkotnak:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, … ( A003052 sorozat az OEIS -ben )Az egyszerű öngenerált számokat önprímszámoknak nevezzük . A jól ismert "ciklikus" szám 142 857 (1-től 6-ig szorozva mindig ugyanazzal a 6 számjegyű szorzatot kapunk, csak ciklikus sorrendben átrendezve) az öngenerált számok számához tartozik. A saját generált számok olyan számok is, mint a 11 111 111 111 111 111 111 és a 3 333 333 333.
A 10-es szám egyes hatványai öngenerálódtak. A 10-et az 5-ös, a 100-ast a 86-os, az 1000-esét a 977-es, a 10 000-esét a 9968-as, a 100 000-esét a 99959-es szám generálja. Az 1 000 000 egy öngenerált szám, a millió tízet követő hatvány pedig, ami egy öngenerált szám, 10 16 .
Eddig nem sikerült olyan nem rekurzív képletet találni, amely lehetővé teszi az összes saját generált szám lekérését, de van egy egyszerű algoritmus, amely lehetővé teszi bármely szám öngenerálásának ellenőrzését (vagyis annak meghatározását, hogy adott szám öngenerált).
A saját generált számokat először 1949 -ben D. R. Kaprekar indiai matematikus írta le , aki több könyvet is szentelt nekik. A saját generált számokat sokáig nem ismerték Indián kívül , mígnem 1974 -ben az American Mathematical Monthly folyóiratban (más néven) megjelent egy cikk róluk , [1] amelyben bebizonyosodott, hogy létezik egy végtelen. saját generált számok száma.
A „ Children's Encyclopedia ” (Szovjetunió) második, matematikának szentelt kötetében van egy cikk a saját generált számokról, ahol ezeket „rögszámoknak” nevezik. [2]