Számos alcsoport

A matematikában az alcsoportok sorozata a forma alcsoportjainak láncolata . Az alcsoportok sorozata leegyszerűsítheti egy csoport vizsgálatát azáltal , hogy a csoport alcsoportjainak tanulmányozására és a köztük lévő kapcsolatok vizsgálatára redukálják. Az alcsoportok sorozatai egy adott csoport fontos invariánsait alkothatják . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Definíció

Normál sorozat, szubnormális sorozat

Egy csoport szubnormális sorozata (más néven szubnormális torony , szubinvariáns sorozat , szubnormális matryoska vagy egyszerűen sorozat ) alcsoportok sorozata. $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

amelyek mindegyike az őt közvetlenül követő nagyobb alcsoport normál alcsoportja , azaz . Ha ezen felül mindegyik alcsoport normális a csoportban , akkor a sorozatot normálisnak mondjuk . $\displaystyle G_{i}\triangeleft G_{{i+1}}$ $GI}}$ $\displaystyle G$

A faktorcsoportokat sorozatfaktorcsoportoknak nevezzük . $G_{i+1}/G_{i}$

Sorhossz

Egy további tulajdonsággal rendelkező sorozatot ismétlés nélküli sorozatnak nevezünk . A sorozat hossza a megfelelő zárványok száma . Ha a sorozatnak nincs ismétlődése, akkor a hossza . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\displaystyle i$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

Egy szubnormális sorozat esetén a hossza a sorozat nemtriviális faktorcsoportjainak száma. Minden nem triviális csoportnak van egy 1 hosszúságú szubnormális sorozata, nevezetesen a sorozat . Minden megfelelő normál alcsoport egy 2 hosszúságú szubnormális sorozatot határoz meg. Egyszerű csoportok esetén az 1 hosszúságú triviális sorozat az egyetlen lehetséges szubnormális sorozat. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Emelkedő és csökkenő rangok

Az alcsoportok rangsorai növekvő sorrendben írhatók fel

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

vagy csökkenő sorrendben

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

Az utolsó sorozatnál nincs különbség abban, hogy milyen formában írják - növekvő vagy csökkenő sorozatként. Egy végtelen sorozatnál azonban már van különbség: a növekvő sorozatban van a legkisebb elem, az azt közvetlenül követő elemben, majd a következőben, és így tovább, de lehet, hogy maximum eleme nem más, mint . Ezzel szemben a csökkenő sorozatnak van a legnagyobb eleme, de lehet, hogy a legkisebb eleme nem lehet a . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\displaystyle \{1\}$

Noether és Artinian csoportok

A felszálló láncfeltételt kielégítő csoportot Noether -nek nevezzük . Ez a feltétel azt jelenti, hogy egy ilyen csoport esetében nincs végtelen alcsoport-lánc, amely a befogadási relációhoz képest növekedne. Ennek megfelelően a csökkenő láncvégződési feltételt kielégítő csoportot Artinian -nak nevezzük ; ez a terminológia analóg az artinuszi és a noetheri gyűrűk szétválasztásával.

Egy csoport lehet Noether-féle, de lehet, hogy nem, erre példa az egész számok additív csoportja . A gyűrűkkel ellentétben egy csoport lehet vagy nem artini, például a Prufer-csoport .

A faktorcsoportok és a noetheri csoportok alcsoportjai noetheriek. Sőt, egy Noether-csoport kiterjesztése egy noetheri csoporttal egy noetheri csoport (vagyis ha egy adott csoportnak van egy Noether-féle normál alcsoportja, amelynek hányadoscsoportja Noether-csoport, akkor maga a csoport Noether-csoport). Hasonló állítások igazak az artinus csoportokra.

Az a feltétel, hogy egy csoport noetheri legyen, egyenértékű azzal a feltétellel is, hogy egy adott csoport bármely alcsoportja végesen létrejön .

Végtelen és transzfinite sorozat

Az alcsoportok végtelen sorozatait természetes módon határozzuk meg: ebben az esetben valamilyen végtelen lineárisan rendezett indexhalmazt kell rögzíteni . Egy növekvő sorozatot , amelynek indexkészlete a természetes számok halmaza, gyakran egyszerűen végtelen növekvő sorozatnak nevezik . Ha a sorozat részcsoportjai sorszámmal vannak megszámozva , akkor egy transzfinit sorozatot kapunk , [1] például a sorozat $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Ha egy sorozat elemeire rekurzív képletet adunk meg, akkor transzfinit sorozatot a transzfinit rekurzió segítségével határozhatunk meg . Ráadásul a korlátozó sorszámokon a növekvő transzfinit sorozat elemeit a képlet adja meg

G_{\lambda }=\bigcup _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha },

a csökkenő transzfinit sorozat elemeit pedig a képlet

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Más lineárisan rendezett halmazok ritkán jelennek meg indexelő halmazként az alcsoport-sorozatokban. Tekinthetjük például egész számokkal indexelt alcsoportok kétoldalas végtelen sorozatát:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Sorok összehasonlítása

Az alcsoportok sorozatának tömörítése egy másik alcsoport-sorozat, amely az eredeti sorozat minden elemét tartalmazza. A tömörítés fogalma részleges sorrendet határoz meg egy adott csoport alcsoportjainak halmazán, az alcsoportok sorai egy ilyen sorrendhez képest rácsot alkotnak, a szubnormális és normál sorozatok pedig ennek a rácsnak a részrácsait. Különösen érdekesek bizonyos értelemben az ismétlések nélküli maximális sorozatok.

Két szubnormális sorozatot ekvivalensnek vagy izomorfnak mondunk , ha létezik egy bijektív leképezés , amely úgy köti össze faktorcsoportjaik halmazait, hogy a megfelelő faktorcsoportok izomorfak.

Maximális rangok

A kompozíciósorozat egy maximális szubnormális sorozat.

A véges szubnormális sorozatok osztályában a maximalitás azt jelenti, hogy minden faktorcsoport egyszerű , azaz egy véges összetételű sorozat véges szubnormális sorozat egyszerű faktorcsoportokkal .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

A növekvő transzfinit szubnormális sorozatok osztályában a maximalitás a transzfinit szuperegyszerűség fogalmához kapcsolódik [ 1] (hipertranszszimplicitás).

A csoportot végtelenül szuperegyszerűnek nevezik $\displaystyle G$ , ha a triviális sorozaton kívül nincsenek növekvő szubnormális sorozatai (véges vagy transzfinit) ismétlődések nélkül . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Egy növekvő transzfinit szubnormális sorozat összetételsorozat, ha minden faktorcsoportja transzfinit szuperegyszerű. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Nyitott kérdések

Minden végtelenül szuperegyszerű csoport egyszerű. Vagyis a végtelenül szuperegyszerű csoportok osztálya egy alosztályt alkot az egyszerű csoportok osztályában. Ezen osztályok egybeesésének vagy nem egybeesésének kérdése nyitva marad. Példát kell alkotni egy egyszerű csoportra, amely nem végtelenül szuperegyszerű, vagy be kell bizonyítani, hogy ilyen csoportok nem léteznek.

Hivatkozások

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Transfinite normál és csoportok összetételi sorozata, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].