Egy egész funkció nemzetsége

Definíció

Legyen egy teljes függvény nullák sorozata olyan, hogy a sorozat a -hoz konvergál , ahol valamilyen nem negatív egész szám (az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy ez a szám a legkisebb az ezzel a tulajdonsággal rendelkezők közül). Ekkor a Weierstrass-tétel megfogalmazásából származó végtelen szorzat a következő alakot ölti: $\{a_{n}\}$ $f$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=\rho$ $\rho$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\jobb )^{2}+\pontok +{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {z}{a_{n}}}\jobbra)^{\rho }\jobbra).$

Ha fokszámú polinom , akkor véges nemzetség teljes függvényének , a számot pedig egy teljes függvény nemzetségének nevezzük . Ha nem polinom, vagy a sorozat semmilyen körülmények között nem konvergál, akkor a végtelen nemzetség teljes függvénye . $h(z)$ $\rho_{1}$ $f$ $\max(\rho ;\rho _{1})$ $h$ $f$

Poincaré tétele egy teljes függvény növekedési üteméről

Az ilyen jellemzők, mint a nemzetség, jelentősége abban rejlik, hogy felhasználható egy teljes függvény növekedési ütemének becslésére. Nevezetesen vegye figyelembe a mennyiséget . A Poincaré-tétel állítása szerint ennek a függvénynek a növekedési üteme a nemzetségéhez kapcsolódik. Ugyanis a nemzetség egész függvényére és egy tetszőleges függvényre létezik olyan , hogy -re az egyenlőtlenség érvényesül . $M(r)=\max _{{|z|=r}}|f(z)|$ $f$ $\rho$ $\alpha >0$ $r_{0}$ $r>r_{0}$ $M(r)<e^{{\alpha r^{{\rho +1))))$