Távolság

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Távolság , tágabb értelemben, az objektumok egymástól való távolságának mértéke (mértéke).

A távolság a geometria alapvető fogalma . A kifejezést gyakran használják más tudományokban és tudományágakban: csillagászat , földrajz , geodézia , navigáció és mások. Különböző tudományágakban, mint kifejezés, eltérő definícióval rendelkezik, amelyet alább mutatunk be.

Távolság a matematikában

Távolság algebrában

A "távolság" kifejezés tartalma az algebrában a metrika és a metrikus tér fogalmához kapcsolódik .

Egy X halmazt metrikus térnek nevezünk, ha egy ilyen, metrikának nevezett X² leképezést nemnegatív számok halmazára úgy adjuk meg, hogy az X halmaz bármely a, b, c elemére a következő axiómák, az úgynevezett Fréchet -féle axiómák. axiómák, tartsd :

1) , sőt, az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a és b elemek egyenlőek; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

A harmadik axióma esetében speciális eset a háromszög egyenlőtlenség .

Távolság a valós számok halmazában A mérőszámok bemutatása

Az összes valós szám halmaza esetén az a szám és a b közötti távolságot a matematikusok számnak tekintik . $|ab|$

Könnyen belátható, hogy az adott metrikával rendelkező valós számok halmaza metrikus tér.

Bizonyítás

Az első feltétel teljesül, mivel a definícióból bármely valós szám modulusa nem negatív szám, sőt a szám modulusa akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a modulus alatti kifejezés nullával egyenlő, ahonnan ha az egyenlőség teljesül, akkor a számok egyenlők.

A második tulajdonság igaz, hiszen a számmodulus tulajdonságaiból: . $|ab|=|ba|$

A harmadik tulajdonság teljesül, mivel maga a tulajdonság ekvivalens , de -vel, és az összeg modulusa mindig nem haladja meg a modulusok összegét. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Távolság a valós számpárok halmazában

A valós számok párjainak halmazában (és grafikus értelmezésben - a sík összes pontjának halmazában) lévő fő metrikák közül kettőt különböztetünk meg: a Descartes -metrikát és az Euklidész -metrikát .

Descartes-metrika A mérőszámok bemutatása

A valós számpárok halmazára a Descartes-metrika a következő:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Győződjön meg arról, hogy a valós számpárok (R²) halmaza a bevezetett Descartes-metrikával metrikus tér.

Bizonyítás

Az első tulajdonság nyilvánvalóan érvényes, mivel a modulusok összege, amelyek mindegyike nem negatív szám, egyben nem negatív szám is. Ráadásul az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a modulus alatti mindkét kifejezés nulla, de akkor a halmaz figyelembe vett elempárjai is egyenlőek.

A második tulajdonság elégedett, mert . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Bizonyítsuk be a harmadik tulajdonságot:

Legyen adott három valós számpár, (a; b), (c; d), (e; f). Ekkor a szükséges egyenlőtlenség a következő formában írható fel:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Ez az egyenlőtlenség igaz, ami a következő két, korábban bizonyított egyenlőtlenség összeadásából következik:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ és . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Euklidész metrika A mérőszámok bemutatása

Valós számpárok halmazára az euklideszi metrika a következő:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Ellenőrizzük, hogy az R² halmaz a bevezetett euklideszi metrikával metrikus tér.

Bizonyítás

Az első tulajdonság érvényes, mert a nem negatív szám számtani gyöke mindig nem negatív. Ha viszont a nullával való egyenlőség teljesül, akkor mindkét négyzetes kifejezés nulla, így a szükséges nyilvánvaló.

A második tulajdonság elégedett, mert . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Bizonyítsuk be a harmadik tulajdonságot:

Legyen adott három valós számpár, (a; b), (c; d), (e; f). Ekkor a szükséges egyenlőtlenség a következő formában írható fel:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . A kifejezés négyzetre emelése és átalakítása után a következő egyenlőtlenséghez jutunk:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd) )^{2})}}$ , ami igaz, ami a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségből következik (a számok különbségeinek megfelelő változtatásával).

Távolság a geometriában

A geometriában az ábrák közötti távolság az első ábrához tartozó pont és a második ábrához tartozó pont közötti szakasz minimális lehetséges hossza.

Távolság a technikában

Az objektumok közötti távolság a két objektumot összekötő egyenes szakasz hossza . A távolság ebben az értelemben egy fizikai mennyiség a hossz dimenziójával, a távolság értékét hosszegységben fejezzük ki.

Távolság a fizikában

Távolság
s
Egységek
SI	m
GHS	cm

A fizikában a távolságot hosszegységben mérik , ami a legtöbb mérési rendszerben az egyik alapvető mértékegység . A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a hossz mértékegysége a méter . A távolságot az objektum által megtett út hosszának is nevezik . Ebben az esetben a távolság (sugárvektor) deriváltja az idő függvényében a sebesség .

Egyéb felhasználások

A proxemikában a távolság fogalmát egy személy személyes terének leírására használják.

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Zenith distance // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.