Schmidt-bontás

A Schmidt - dekompozíció egy bizonyos típusú kifejezés egy vektorra két Hilbert - tér tenzorszorzatában . Valójában ez a mátrixok szinguláris értékdekompozíciójának újrafogalmazása .

Számos alkalmazása van a kvantuminformációelméletben , például az összefonódásban . Erhard Schmidtről kapta a nevét .

Megfogalmazás

Legyen és legyen Hilbert - terek dimenziókban , ill. Tegyük fel . Ekkor a tenzorszorzat bármely vektorához vannak ortonormális vektorhalmazok , és $H_1$ $H_2$ $m$ $n$ $m\geq n$ $w$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2))$ ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$

w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},

hol vannak valós nemnegatív számok. Ezenkívül a multihalmazt egyedileg határozza meg . $\alpha_i$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$

Jegyzetek

A és vektorok halmazait Schmidt - bázisoknak nevezzük . ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$ $w$
A számokat Schmidt - együtthatónak nevezzük . ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$