Származék (matematika)

A derivált egy alapvető matematikai fogalom, amelyet a matematika számos ágában különféle változatokban (általánosításokban) használnak. Ez a differenciálszámítás alapvető konstrukciója, amely lehetővé teszi a számításokban , a differenciáltopológiában és -geometriában , valamint az algebrában használt általánosítások számos változatát .

A különféle variációk és általánosítások között az a közös, hogy a leképezés deriváltja az argumentum (végtelenül) kis változásával jellemzi a leképezés képének változásának mértékét. A szóban forgó matematikai struktúráktól függően ennek a fogalomnak a tartalma meghatározásra kerül.

A derivált fogalmának mintegy 20 általánosítása ismert csak a topológiai lineáris terek esetében. [egy]

Egy változó függvényének deriváltja

Alapdefiníció

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\jobbra 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, hol .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Grafikusan ez a függvényt reprezentáló görbe egy pontjában lévő érintő meredeksége . $x_{0}$ $f(x)$

Az argumentum kellően kis változtatásaira az egyenlőség érvényes . Általános esetben a definíciónak ezt a formáját veszik alapul a származék fogalmának általánosításához. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Egyoldalú származékok

Definiálunk egyoldalú származékokat is, ahol az egyoldali ( bal és jobb oldali ) limitet használjuk a megfelelő limit helyett. A jobb oldali származékot vagy származékot a jobb oldalon a szimbólumok jelölik . A bal oldali származékot vagy származékot a bal oldalon a szimbólumok jelölik . Közönséges derivált akkor és csak akkor létezik, ha egyenlő egyoldalú származékok vannak (nagyságuk megegyezik a deriválttal). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Magasabb megbízások származékai

Mivel egy változó függvényének deriváltja egy változó bizonyos függvénye is, tekinthetjük a derivált deriváltját - a második deriváltot és általában bármilyen rendű (valamilyen természetes szám) deriváltját. $n$

Több változó függvényének származékai

Részleges származékok

Több változós függvények esetén: , mindenekelőtt az úgynevezett parciális deriváltokat határozzuk meg - az egyik változóra vonatkozó derivált, feltéve, hogy a többi változó értéke rögzített: $f:\mathbb {R} ^{n}\jobbra \mathbb {R}$

${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{ \frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Gradiens

A tényleges derivált (figyelembe véve a változók vektorának egészében, azaz az összes változóban bekövetkezett változásokat) több változó függvénye esetén a függvény úgynevezett gradiense - egy vektor, amelynek összetevői parciális deriváltak:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\ frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)$

Egy változó esetével analóg módon a változók vektorának kis változásaira a következő egyenlőség áll fenn: $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf {x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\ frac {\partial f}{\partial x^{i))}dx^{i}$

Irányszármazék

Több változóból álló függvények esetén definiálhatunk egy irányderivált , azaz feltételezzük, hogy a változók egy adott irányban változnak. Egy függvény deriváltja a vektor irányához képest a következőképpen definiálható: $f$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _{0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Ha az irány egybeesik valamelyik koordinátatengely irányával, akkor az ezen irány mentén vett derivált valójában a megfelelő parciális derivált. Megmutatható, hogy az irányderivált egyenlő a gradiensvektor és a normalizált irányvektor pontszorzatával (vagyis egy egységnyi hosszúságú irányvektorral, amely bármely irányvektorból megkapható, ha elosztjuk a hosszával): $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Magasabb megbízások származékai

Egy változó függvényeinek analógiájával tetszőleges sorrendű parciális deriváltokat is figyelembe vehetünk. Ezenkívül ebben az esetben többször is használhatja ugyanazt a változót, és egyszerre több változót is:

${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{{k_{1}}}\partial x_{2}^{{k_{2}}},...,\partial x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , ahol $\sum k_{i}=k$

A második derivált analógja több változós függvény esetén a második parciális derivált mátrixa - a Hess-mátrix , amely egy vektorértékű függvény deriváltja (lásd alább) - egy skalárfüggvény gradiense. Ennek a mátrixnak az elemei a második deriváltak . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j))}$

Teljes derivált

Sok esetben szükségessé válik egy függvény adott változó változásától való függésének értékelése olyan helyzetben, amikor más változók egy bizonyos módon változnak a függvényben , vagyis ennek a változónak a változása hatással van a függvény értékére is. közvetlenül (amit egy részleges derivált fejez ki) és közvetve más változók változásán keresztül . A teljes hatást a teljes deriváltban fejezzük ki : $f$ $x^{j}$ $x^{j}$ $f$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\részleges x^{i}}{\részleges x^{j}}}$

Általános esetben a független változók pályáját tekinthetjük paraméteres formában , ahol van valamilyen paraméter (a fizikában ez legtöbbször az idő). Ezután figyelembe vesszük a teljes deriváltot ehhez a paraméterhez: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {dx^{ i}}{dt}}$

Ebben az esetben az egyik változó paraméterként működhet . $t$ $x^i$

A Lagrange-derivált figyelembe veszi az időfüggésből és a térben egy vektormező mentén történő mozgásból adódó változásokat.

Több változóból álló függvénykészlet

Több változóból álló függvényhalmaz értelmezhető vektorértékű függvényként: . Egy ilyen függvény deriváltja az úgynevezett Jacobi-mátrix , melynek sorai a halmazt alkotó függvények gradiensei , vagyis a -edik sor és -edik oszlop eleme egyenlő a parciális deriválttal. a függvény függvényében a változóhoz képest : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $J$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $én$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\left[\frac {\partial f_i}{\partial x^j}\right]$

A skaláris függvényekkel analóg módon az argumentumok vektorának kis változásaira az egyenlőség igaz: $d{\mathbf {x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Egy vektorértékű függvény deriváltjának speciális esete valamely skaláris függvény gradiensének deriváltja , mivel a gradiens valójában több parciális derivált függvény vektora. Ez a derivált, amint fentebb megjegyeztük, lényegében egy skaláris függvény második deriváltja, és ennek a függvénynek a második rendű parciális deriváltjainak mátrixa - a Hess-mátrix ( ) vagy a Hess-mátrix (a Hess-függvényt általában a Hess-függvény determinánsának nevezik mátrix). $f$ $HF}$

Tetszőleges lineáris terek leképezéseinek deriváltjai

Előzetes általánosítás

Több változó skalárfüggvényét fentebb formálisan egy olyan vektor függvényének tekintettük, amelynek komponensei független változók. Általános esetben figyelembe kell venni a skaláris (numerikus) függvényeket tetszőleges dimenziójú vektortereken . Ezután minden rögzített bázisban egy ilyen leképezés több változó függvényének tekinthető. Így az összes fentebb tárgyalt fogalom értelmezhető egy tetszőleges (e célokhoz elegendő topológiai struktúrával felruházott) tér fix bázisához tartozó deriváltak koordináta-definíciójaként. $f:X\jobbra nyíl R$ $x$

Hasonlóképpen, egy függvénykészlet értékeit formálisan is valamilyen vektor összetevőinek tekintették, és ezt a függvénykészletet (formálisan) az egyik vektorról a másikra való leképezésként kezelték. Általános esetben tetszőleges, különböző méretű és jellegű (a szükséges topológiai struktúrával felruházott) vektorterek közötti leképezést kell fontolóra venni . Ha mindkét térben bázisokat rögzítünk, akkor ez a leképezés analóg több változó fentebb tárgyalt függvénykészletével. Így az összes megfelelő definíciót általános esetben a megfelelő terek rögzített bázisai alatti deriváltak koordináta-definíciójaként értelmezzük. $F:X\jobbra Y$ $x$ $Y$

Ez az értelmezés egyúttal azt is jelenti, hogy annak ellenére, hogy a deriváltak koordináta-ábrázolása a bázistól függ (az egyik bázisról a másikra való átmenet során változnak), maguk a derivált fogalmak nem függhetnek a bázisok megválasztásától. Ezért általánosságban elmondható, hogy a származékok általánosabb definícióira van szükség, amelyek nem kapcsolódnak közvetlenül a bázis kiválasztásához és koordináta-ábrázolásához. Sőt, ezeket a meghatározásokat a végtelen dimenziójú terekre általánosítják, amelyeket például a funkcionális elemzésben és a variációszámításban használnak.

Gateau származék

A derivált meglehetősen általános fogalmát figyelembe veszi a funkcionális analízis , ahol az irányított derivált fogalmát tetszőleges lokálisan konvex topológiai vektorterekre általánosítják . A megfelelő származékot általában Gateaux-származéknak vagy gyenge származéknak nevezik. A Gateaux-derivált definíciója lényegében megegyezik az irányderiváltával több változós függvény esetén:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

Fréchet származék

A Banach-terek esetében a Fréchet- vagy az erős derivált definiálható . A leképezés Fréchet-származéka olyan lineáris operátor , amelyre a következő egyenlőség áll fenn: $F:X\jobbra Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\jobbra 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||ó||_{X}}}=0$ ,

Ez azt jelenti, hogy az argumentum kellően kicsi (a tér normája szerint ) változása esetén a változás (az Y tér normája szerint) -hez konvergál , ami formálisan egyenlőségként írható fel: $x$ $dx$ $x$ $dF$ $F'(x)dx$

d F ( x ) = F ′ ( x ) d x {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Ha ez a derivált létezik, akkor egybeesik a Gateaux származékkal. A véges dimenziós terek esetében a koordinátaábrázolásban a Jacobi-mátrix, és ha , akkor a skalárfüggvény gradiense. $F'(x)$ $Y=R$

Variációs derivált

A variációszámításban , ahol az integrál funkcionálisokat a függvényteren veszik figyelembe , amelyben a skaláris szorzatot bevezetjük (egy függvénypár integrálja formájában), a variációs derivált fogalma, amelyet funkcionális deriváltnak is neveznek , bevezetett . A függvény variációs deriváltja egy olyan függvény (általában általánosított függvény ) , amelyre a függvény kis változásával a következő egyenlőség áll fenn: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\delta f$ $f$

δ F = F ( f + δ f ) − F ( f ) = ( δ F / δ f , δ f ) = ∫ δ F ( f ( x ) ) δ f δ f ( x ) d x {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Kimutatható, hogy a variációs derivált lényegében a Fréchet-származék.

Származékos a mérték tekintetében

A mértékelméletben a Radon-Nikodim derivált általánosítja a jakobiánus változókat, amelyeket a változók mértékekre történő változtatására használnak. Egy mértéket egy másik mértékkel fejez ki (bizonyos feltételek mellett). $\mu$ $\nu$

A derivált az eloszlások terére vonatkozó általánosításokat is lehetővé teszi , a megfelelő jól áttekinthető altérben lévő részek szerinti integráció használatával .

Differenciáloperátorok véges dimenziós terekben

1. A vektorértékű függvények ( vektormezők ) divergenciája (divergenciája) egy véges dimenziós térben méri, hogy mennyire erős a "forrás" vagy a "nyelő" ezen a ponton. Használható az áramlás kiszámítására a divergencia tétel segítségével . A koordinátaábrázolásnál (derékszögű koordinátákkal) a divergencia az $F:X\jobbra X$ $x$

$\operatorname {div}{\mathbf {F}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial F_{{x^{i}}}}{\partial x^{ én}}}$

2. A vektormezők forgórésze háromdimenziós térben a vektormező "forgását" méri ezen a ponton. A koordinátaábrázolásban (derékszögű koordinátákkal) a következő: $\mathbb {R} ^{3}$ $\operátornév {rot} \mathbf {F} =\operátornév {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){ \partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}} {\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x} }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$

( F egy vektormező derékszögű komponensekkel , és derékszögű koordináták ortjai ) $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. A laplaci véges dimenziós téren egy skaláris függvény (skalármező) gradiensének divergenciája (divergenciája) . Gyakran jelölik vagy . A koordinátaábrázolásban (derékszögű koordinátákkal) a következő: $\Delta$ $\nabla ^{2}$

$\operatorname {div}\operatorname {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}f} {\részleges x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertianus – a laplaciaihoz hasonlóan definiálva, de az euklideszi térmetrika helyett a Minkowski térmetrikát használja . A fizikában a négydimenziós téridőre tekintik. A koordinátaábrázolásban (derékszögű koordinátákkal) a következő:

\square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2))}+ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial t^{2}}}.

Deriválták a differenciáltopológiában, geometriában és tenzoranalízisben

Érintővektor és érintőleképezés

A differenciáltopológiában a sima sokaságon lévő sima skaláris függvényekhez (a továbbiakban - csak egy sokaság és csak egy függvény) bevezetik az érintővektor fogalmát egy pontban . Ezek a függvények egy algebrát alkotnak az összeadás, szorzás és számmal való szorzás pontszerű műveletei alatt. Az érintővektor az ilyen függvények algebrájának lineáris függvénye, amely kielégíti a Leibniz-szabályt . Azoknál a sokaságoknál, amelyek a részhalmazai , ez az érintővektor analóg lesz az irányított deriválttal a fent meghatározott pontban. $f:M\rightarrow R$ $M$ $p\in M$ $\mathbb {R} ^{n}$

A függvények algebrájának egy lineáris operátora, amely kielégíti a Leibniz-szabályt, valójában ezeknek a függvényeknek az algebrájának deriváltja, és valójában meghatározza a skaláris függvények deriváltját. Az ilyen lineáris operátorok a skaláris függvények algebráján vektormezőt alkotnak a sokaságon. Ez a vektormező definiálható leképezésként is, amely a sokaság minden pontjához hozzárendel egy érintővektort az adott ponthoz.

A sokaság egy adott pontjához tartozó összes érintővektor halmaza egy adott pont érintőterét alkotja . $T_{p}M$

Tetszőleges méretű sokaságok sima leképezéséhez egy pontban lévő differenciál egy lineáris operátor , amely bármely érintővektor esetén abból áll, hogy egy függvényt differenciálunk egy tetszőleges f numerikus függvényhez egy N sokaságon. $F\colon M\to N$ $p\in M$ $d_{p}F:T_{p}M\jobbra nyíl T_{F(p)}N$ $X\in T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

A koordinátaábrázolásban a differenciál egy Jacobi-mátrix . Az érintőterekben lévő bázisok a p pont koordinátaábrázolásának numerikus függvényeinek parciális deriváltjai. $\left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}$

Az összes érintőtér (amelyet diszjunkt halmazoknak tekintünk) az elosztó összes pontjára, az elosztó tangens kötegének nevezzük (2n dimenziója van, mivel az érintőköteg lényegében párok halmaza - egy pont és egy érintővektor azt). Pontosabban, a tangens köteg a TM tér leképezése egy M sokaságba. Az érintőleképezés ( eng. pushforward ) a jakobi fogalom általánosítása, és a sokaságok érintőkötegeire hat: . Az érintő megjelenítési argumentumok egy pont és egy vektor . Rögzített pont esetén a leképezés a fenti különbség egy pontban – lineáris leképezés érintőtérről érintőtérre . $TM$ $dF\colon \,TM\to TN$ $p\in M$ $\xi \inTM$ $p\in M$ $dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

A sokaságon lévő vektormező az M sokaság TM-re való leképezése, vagyis olyan, amely a sokaság minden pontjához egy érintővektort rendel ehhez a ponthoz. A vektormező egy érintőköteg szakaszának tekinthető – M leképezése TM-be. A vektormezőket egy függvényalgebra származékának is tekinthetjük, amely az algebra minden függvényét ugyanazon algebra másik függvényére képezi le. Ez egy lineáris leképezés, amely megfelel a Leibniz-szabálynak.

Riemann-sokaságok esetén az f skalárfüggvény gradiense egy érintő térvektorként van definiálva úgy , hogy bármely X érintővektor esetén a függvény differenciálja egyenlő a skalárszorzattal . A koordinátaábrázolásban ez a térmetrika konvolúciója a függvény parciális deriváltjaival: $\nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ $\nabla f=g^{ij}\partial _{i}f$

Hazugság származéka

A Lie derivált egy tenzormező (különösen egy skaláris vagy vektormező) változásának sebessége egy adott vektormező irányában. Skalármező esetén a Lie derivált egybeesik a irányú deriválttal . A vektormezők esetében a Lie derivált egyenlő az úgynevezett Lie zárójellel . Ez egy példa a Lie zárójel alkalmazására (a vektormezők egy Lie algebrát alkotnak egy sokaság difeomorfizmuscsoportján ). Ez az algebra 0. rendű deriváltja.

Külső és belső származékok

A sima sokaság feletti differenciálalakok külső algebráján a külső derivált egy egyedi lineáris leképezés, amely kielégíti a Leibniz-törvény ordinális változatát, és négyzetbe vonva nulla. Ez a külső algebra elsőrendű deriváltja.

A belső derivált az alakok külső algebráján lévő sorrend "-1" deriváltja. A külső derivált, a Lie derivált és a belső derivált együtt egy Lie szuperalgebrát alkotnak .

Kovariáns derivált

A differenciálgeometriában (és az ebből eredő tenzoranalízisben ) egy kovariáns derivált segítségével a vektormezők irányában görbék mentén , vagy általában egy görbe vonalú koordinátarendszerben vesszük a deriváltokat. Ez kiterjeszti a skaláris függvények irányított deriváltját a vektorkötegek vagy főkötegek szakaszaira . A Riemann-féle geometriában a metrika megléte lehetővé teszi, hogy kanonikusan válasszunk egy torziómentes kovariáns származékot, amelyet Levi-Civita kapcsolatként ismerünk .

A skalárfüggvények kovariáns deriváltja megegyezik a vektormező irányának deriváltjával. Egy vektormező vektormezőhöz viszonyított kovariáns deriváltja formálisan F-lineáris leképezésként definiálható (azaz összegzésben és skalárfüggvénnyel való szorzásban), in additív és a szabványos Leibniz-szabály szorzatára. egy skaláris mező és egy vektormező . A tenzormezők általános esetben a tenzorszorzatukhoz a Leibniz-szabály szükséges. $f$ $D_{v}f$ $v$ $u$ $v$ $v$ $u$ $f$ $u$

Vektormező esetén a koordináta-reprezentációban a kovariáns derivált a következőképpen írható fel:

D_{j}u^{i}=\részleges _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

ahol a közönséges parciális derivált a koordinátához képest , és a Christoffel szimbólumok . $\részleges _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

Descartes-koordináták esetén a Christoffel-szimbólumok nullák, így a kovariáns derivált egyenlő a közönséges deriválttal.

A külső kovariáns derivált kiterjeszti a külső deriváltot vektorértékű formákra.

Származék a matematika más ágaiban

Deriválták a komplex elemzésben

A komplex elemzésben (komplex változók függvényeinek elemzése) a központi vizsgálat tárgyát a holomorf függvények képezik, amelyek komplex értékű függvények a komplex számok síkján, és megfelelnek a differenciálhatóság megfelelően kiterjesztett definíciójának.

A Schwartz-származék leírja, hogyan közelítenek egy komplex függvényt lineáris-frakcionált leképezéssel , hasonlóan ahhoz, ahogy a közönséges derivált írja le, hogyan közelítenek egy függvényt lineáris leképezéssel.

Deriválták az algebrában és az algebrai geometriában

A levezetés az általános algebrában egy lineáris leképezés egy gyűrűn vagy algebrán , amely kielégíti Leibniz törvényét ( a szorzatszabályt ). A Galois-féle differenciálelmélet tisztán algebrai környezetben tanulmányozza őket, de számos más területen is megjelennek, ahol gyakran használják őket a deriváltak kevésbé szigorú algebrai definícióival.

Az algebrai Kahler-geometriában a differenciál lehetővé teszi a külső derivált definíciójának kiterjesztését tetszőleges algebrai változatokra , ahelyett, hogy csak sima változatokat .

Egyéb általánosítások

Teljesen lehetséges kombinálni egy egyszerű derivált kiterjesztésének vagy absztrakciójának két vagy több különböző fogalmát. Például a Finsler geometria olyan tereket vizsgál, amelyek helyileg úgy néznek ki, mint a Banach-terek . Ily módon lehetőség nyílik a funkcionális derivált és a kovariáns derivált néhány jellemzőjével rendelkező derivált létrehozására .

A kvantumcsoportok területén a -derivált egy függvény szokásos deriváltjának -deformációja . $q$

Törtszármazékok

Tetszőleges természetes szám th -edik deriváltjain kívül különféle módszerekkel törthatványos deriváltokat is be lehet vezetni, így megkapjuk az úgynevezett tört deriváltokat . A negatív sorrendek származékai az integrációnak felelnek meg, innen ered a differintegral kifejezés . A nem természetes rendek származékainak különböző lehetséges definícióinak és jelöléseinek tanulmányozása törtszámításként ismert . $n$ $n$

Meghatározásra van szükség

Dini származék
Mátrixszámítás
Pinkerle származék
Paraméteres derivált
Félig differenciálhatóság

Lásd még

Jegyzetek

↑ Frölicher, 1970 , p. 131.

Irodalom

Frölicher, A., Bucher W. Differenciálszámítás norma nélküli vektorterekben. - M .: Mir, 1970.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák