Maximális modulus elve

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Megfogalmazás

Ha holomorf valamilyen tartományban , és létezik olyan pont , amelyre az egyenlőtlenség a teljes tartományban érvényes , akkor . $f$ $G\subset {\mathbb C}^{n}$ $z_{0}\in G$ $G$ $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$

Más szóval, egy konstanstól eltérő analitikus függvény modulusának nem lehet lokális maximuma a régión belül . $G$

Következmények

A minimális modulus elve. Ha valamely tartományban analitikus , ott nem tűnik el, és van olyan pont , hogy az egyenlőtlenség az egész tartományban érvényes , akkor . (Azaz egy konstanstól eltérő analitikus függvény modulusának lokális minimumai csak azokon a pontokon érhetők el, ahol eltűnik.) $f$ $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $z_{0}\in G$ $G$ $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$
A maximális valós és képzetes részek elve. Ha egy analitikus függvénynél egy pontban elérjük a helyi maximumot (minimum) a valós (vagy képzeletbeli) részén, akkor a függvény konstans. $F z)$ $z_{0}\in G$ $F z)$

(Itt a szokásos maximális moduluselvet használjuk az és függvényekre , valamint az egyenlőségre .) $e^{{f(z)}}$ $e^{{if(z)}}$ $\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{({\mathrm {Re}}\,f(z)}}$

Legyen egy kompakt részhalmaza . Bármely folyamatos bekapcsolt és analitikus függvényre az egyenlőség érvényes: $K\alhalmaz {\mathbb C}^{n}$ $f$ $K$ $K$

\|f\|_{K}=\|f\|_{{\partial K}}.

Ha egy ilyen függvénysorozat egyenletesen konvergál a kompakt határán , akkor az egészben egyenletesen konvergál . $K$ $K$