Szekvenciális statisztikai teszt

A szekvenciális statisztikai teszt egy szekvenciális statisztikai eljárás , amelyet statisztikai hipotézisek tesztelésére használnak szekvenciális elemzésben .

Legyen egy ismeretlen (teljesen vagy részben) eloszlású valószínűségi változó megfigyelhető statisztikai kísérletben (formálisan, matematikai jelöléssel, , ahol a valószínűségi tér az események -algebrájával van ellátva, és a Borelhez képest mérhető -algebra). $\displaystyle X$ ${\mathbb P}$ $X:\Omega \mapsto \mathbb {R}$ $\Omega$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$ $\displaystyle X$ $\sigma$

Teszteljük a nullhipotézist az alternatívával szemben . $H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$

A statisztikai kísérlet minden szakaszában , a többi szakasztól függetlenül, egy valószínűségi változót figyelünk meg - a , addig másolatát , ahol van valamilyen (véletlenszerű) leállási idő . A szekvenciális statisztikai teszt egy pár , ahol bármely függvénye 0 vagy 1 értéket vesz fel (a null- vagy alternatív hipotézis melletti döntés). $i\geq 1$ ${\displaystyle \displaystyle X_{i))$ $\displaystyle X$ $i\leq \nu$ $\displaystyle \nu$ $(\nu ,\delta )$ $\displaystyle \delta$ ${\megjelenítési stílus (X_{1},\pontok ,X_{\nu })}$ $H_{0}$ $H_1$

Ennek a definíciónak formális értelmet adhatunk a megállási idő fogalmának segítségével a , valószínűségi változók által generált -algebrák sorozatára vonatkozóan . Ekkor a döntő függvénynek mérhetőnek kell lennie a pillanatot megelőző események -algebrájához képest : . $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\pontok X_{n})$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n))$ $n=1,2,\pontok$ $\displaystyle \delta$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{\nu }$ $\nu$ ${\mathcal {F}}_{\nu }=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}} _{n}\}$

A kritérium hatványfüggvényét egy „pontban” a következőképpen határozzuk meg: . Ha , akkor I. típusú hibavalószínűségnek nevezzük (a nullhipotézis elutasításának valószínűsége, ha igaz). Ha , akkor II. típusú hibavalószínűségnek nevezzük (a nullhipotézis elfogadásának valószínűsége, ha az hamis). $(\nu ,\delta )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\delta =0)$

Véletlenszerű szekvenciális feltételek

A randomizált szekvenciális hipotézis teszt egy párként definiálható , ahol , , és , olyan (mérhető) függvények, amelyek 0 és 1 közötti értéket vesznek fel . Minden egyes szakaszban (ha a kísérlet elérte) a leállás valószínűségeként értelmezhető ebben a szakaszban, további megfigyelések nélkül, és - a nullhipotézis elutasításának valószínűségeként, ha a megállás ebben a szakaszban történt. $\displaystyle (\psi ,\phi )$ $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$ $\psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\pontok ,X_{n})$ $\phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\pontok ,X_{n})$ $n=1,2,\pontok$ $n\geq 1$ $\psi _{n}(X_{1},\pontok ,X_{n})$ $\phi _{n}(X_{1},\pontok ,X_{n})$

$\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ véletlenszerű megállítási szabálynak, és véletlenszerű döntési szabálynak nevezik. $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$

Ha mindegyik csak a 0 (a megfigyelések folytatása) és az 1 (stop) értéket veszi fel, akkor a leállítási szabály egy nem véletlenszerű leállási időt határoz meg . Hasonlóképpen, ha mindenki csak a 0 (a nullhipotézis elfogadása) és az 1 (a nullhipotézis elutasítása) értéket fogadja el, akkor a döntési szabály egy nem véletlenszerű döntési függvényt határoz meg: ha . ${\displaystyle \displaystyle \psi _{n))$ $\displaystyle \psi$ ${\displaystyle \nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\pontok ,X_{n})=1\))$ ${\displaystyle \displaystyle \phi _{n))$ $\displaystyle \phi$ ${\displaystyle \displaystyle \delta =\phi _{n))$ $\displaystyle \psi _{n}=1$

A kritérium hatványfüggvényét a "pontban" a következőképpen definiáljuk: , ahol a matematikai elvárás . Ha , akkor az I. típusú hiba valószínűsége. Ha , akkor a II. típusú hiba valószínűsége , ahol . Ennek megfelelően az átlagos mintaméret a leállítási szabály használatakor úgy van meghatározva, mintha (egyébként ). $(\psi ,\phi )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\pontok ( 1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}$ $\mathbb {E}$ ${\mathbb P}$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\pontok (1-\ psi_{i-1})\psi_{i}$ $\psi$ $E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\pontok (1-\psi _{i-1}) \psi_{i}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=1$ $E\nu=\infty$

Példa

Szekvenciális valószínűségi arány teszt ( Wald - teszt )

Linkek

Shiryaev A. N. Statisztikai szekvenciális elemzés. Optimális megállási szabályok - M.: Nauka, 1976.
Ghosh, M., Mukhopadhyay, N. és Sen, PK Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.