Kezelői félcsoport

Az operátor félcsoport lineárisan korlátos operátorok egyparaméteres családja egy Banach térben . Az operátor-félcsoportok elmélete a 20. század közepén merült fel olyan ismert matematikusok munkáiban, mint Hille ( Einar Hille ), Phillips ( Ralph Saul Phillips ) , Yosida , Feller . Ennek az elméletnek a fő alkalmazásai a következők: absztrakt Cauchy-problémák, parabola egyenletek , sztochasztikus folyamatok .

Definíció

Legyen egy Banach tér . Az operátorok félcsoportja a térben korlátos operátorok , , családja, amely megfelel a következő tulajdonságoknak: $x$ $\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$ $x$ $T_{t}:X\to X$ $t\geqslant 0$

$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , ahol az operátorok szorzata ezen leképezések összetétele.
$T_{0}=I$ , hol van az azonosító operátor a térben . $én$ $x$

A félcsoport definíciójából következik, hogy bármely félcsoporthoz vannak olyan állandók , amelyek: $M>0,\alpha \in R$

\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.

Félcsoport generátor

Az operátorok félcsoportjainak elméletében a központi fogalom a félcsoport generátor fogalma. Egy félcsoport generátora vagy egy félcsoport infinitezimális generáló operátora az operátor ${\displaystyle T_{t))$

A:X\supset D(A)\to X

A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t)),\ \varphi \in D(A),

ahol a tartomány olyan elemek halmazaként van definiálva, amelyeknél az adott korlát létezik. A félcsoport-generátor egy lineáris, általában véve korlátlan operátor. Ha a félcsoport erősen folytonos, akkor a generátor tartománya sűrű , és maga a generátor zárt operátor. Másrészt nem minden zárt, sűrűn definiált operátor egy félcsoport generátora. A generátort egyértelműen a félcsoport határozza meg; egy generátor egyértelműen definiál egy félcsoportot, ha az erősen folytonos. $D(A)$ $x$

Félcsoportok típusai

A paraméter simaságától függően különböző típusú félcsoportokat veszünk figyelembe.

Egy félcsoportot egyenletesen folytonosnak nevezünk, ha a következő feltétel teljesül: ${\displaystyle T_{t))$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0

ahol a határ az operátortopológia értelmében értendő .

Egy félcsoportot -félcsoportnak vagy erősen folytonos félcsoportnak nevezünk , ha a következő feltétel teljesül: ${\displaystyle T_{t))$ $C_{0}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0

bármely rögzített elemhez . $\varphi \in X$

A szerződő félcsoportok fontos szerepet játszanak a pályázatokban. Az erősen folytonos félcsoportot összehúzódónak mondjuk, ha a következő feltétel teljesül:

\|T_{t}\|\leqslant 1

Az erősen folytonos félcsoportot analitikus félcsoportnak nevezzük, ha analitikusan kiterjeszthető valamely szektorra ${\displaystyle T_{t))$

\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2

oly módon, hogy folyamatos ben . $T_{\lambda}$ ${\overline {\Delta }}_{\delta }$

A félcsoportok generátorainak kritériumai

Egy lineáris operátor a térben akkor és csak akkor generál egyenletesen folytonos félcsoportot, ha korlátos operátor. Ez azt jelenti, hogy a véges dimenziós terekben minden félcsoport egyenletesen folytonos. $A$ $x$ $A$

Az erősen folytonos félcsoport generátorának kritériuma a következő tétel: A lineáris operátor akkor és csak akkor egy erősen folytonos félcsoport generátora, ha a következő feltételek teljesülnek: $A$

Az üzemeltető zárva van. $A$
A definíciós tartomány sűrű a -ban . $D(A)$ $x$
Van olyan, hogy minden szám feloldó az operátor számára . $\lambda _{0}$ ${\displaystyle \lambda \geqslant \lambda _{0))$ $A$
Van egy olyan állandó , hogy minden egyenlőtlenség mellett $c_{1}>0$ $\lambda >\lambda _{0}$

\|(\lambda IA)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k =1,2,\pontok

Ha a 4) feltétel helyett a feltétel

\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0))},

akkor az operátor egy erősen folytonos félcsoport generátora is. Az eset Hille-Yosida tételként ismert : a lineáris operátor akkor és csak akkor generátora egy összehúzódó félcsoportnak, ha a következő feltételek teljesülnek: $A$ $\lambda _{0}=0$ $A$

Az üzemeltető zárva van. $A$
A definíciós tartomány sűrű a -ban . $D(A)$ $x$
Minden szám megoldható a kezelő számára . $\lambda \geqslant 0$ $A$
Mindenkire érvényes a következő egyenlőtlenség: $\lambda >0$ $\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda )),$

Ahhoz, hogy egy erősen folytonos félcsoport generátora egy analitikus félcsoport generátora lehessen, lényegesen nagyobb feltételeket kell megkövetelni az operátor spektrumán . $A$ $A$

Az operátor akkor és csak akkor generátora egy analitikus félcsoportnak, ha vannak számok , és a halmaz mentes az operátor spektrumától és az egyenlőtlenségtől $A$ $\pi /2<\omega \leqslant \pi$ $q\geqslant 0$ ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\))$ $A$

\|(\lambda IA)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },

ahol az állandó nem függ attól . $c_{2}>0$ $\lambda$

Egy másik ekvivalens kritérium egy analitikus félcsoport generátorához, hogy egy erősen folytonos félcsoport generátora egy analitikus félcsoport generátora, ha

\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,

ahol egy állandó független -tól . $C>0$ $t$

Jegyzetek

Irodalom

Pazy A. Lineáris operátorok félcsoportjai és alkalmazásai parciális differenciálegyenletekhez. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
Kerin S. G. Lineáris differenciálegyenletek Banach-térben. — M.: Nauka, 1967.
Hille E., Phillips R. Funkcionális elemzés és félcsoportok. — M.: IL, 1962.
Kato T. Lineáris operátorok perturbációelmélete. — M.: Mir, 1972.
Engel K.-J., Nagel R. Egyparaméteres félcsoportok lineáris evolúciós egyenletekhez. Springer-Verlag, NY, 2000.
R. V. Shamin. Operátorok félcsoportjai. M.: RUDN, 2008. - 205 p.