Teljes faktoriális kísérlet

Teljes faktorkísérlet (FFE) - több mérésből álló sorozat, amely megfelel a következő feltételeknek:

A mérések száma 2 n , ahol n a tényezők száma ;
Minden tényező csak két értéket vesz fel - felső és alsó;
A mérés során a faktorok felső és alsó értékeit minden lehetséges kombinációban kombinálják.

A teljes faktoriális kísérlet előnyei a következők

a paraméterek becslésére szolgáló egyenletrendszer egyszerű megoldása ;
statisztikai redundancia a mérések számában, ami csökkenti az egyes mérési hibák paraméterbecslésre gyakorolt hatását.

Előzetes

Rendszerparaméterek becslése

A gyakorlatban gyakran meg kell értékelni egy bizonyos rendszer paramétereit, azaz meg kell építeni annak matematikai modelljét , és meg kell találni a modell paramétereinek számértékeit. A modell felépítésének kiinduló adatai a kísérlet eredményei , amely több, meghatározott terv szerint végzett mérés gyűjteménye. A terv a legegyszerűbb esetben a mérési körülmények leírása, vagyis a bemeneti paraméterek (tényezők) értéke a mérés során.

Példaként olyan rendszerekre, amelyek paramétereinek becslése gyakorlati szempontból releváns, különféle technológiai folyamatok szolgálhatnak. Szemléltetésképpen vegyük figyelembe a fotolitográfia folyamatát.

A fotolitográfia egy minta felvitele egy felületre fényképészeti módszerrel. A következő lépésekből áll: felület előkészítése, fényérzékeny emulzió ( fotoreziszt ) felhordása, szárítás, negatív mintázatú stencil vagy lemez felszerelése, ultraibolya sugárzással való expozíció (megvilágítás), maratás (kifejlesztés). Mivel a fotolitográfia technológiai finomságai ebben az összefüggésben nem fontosak, a d fényérzékeny emulzió vastagságát (mikronban) és a t expozíciós időt (másodpercben) tekintjük a litográfiai folyamatot befolyásoló fő tényezőknek. A folyamat kimeneti paramétere (válasza) az R felbontása lesz , vagyis a felület egy milliméterére rajzolható megkülönböztethető vonalak maximális száma. Ezt az értéket úgy határozzuk meg, hogy speciális tesztképet alkalmazunk a felületre.

Tehát a fotolitográfia technológiai folyamatát a forma valamilyen funkciója írja le

\ R=f(d,t).

A technológiai folyamat modelljének felépítése lehetővé teszi a rendszer válaszának viselkedésének azonosítását a tényezők változásától függően, és ezáltal módot találni a technológia optimalizálására. Ebben az esetben válassza ki azt az emulzióvastagságot és expozíciós időt, amely a legjobb képminőséget biztosítja.

Általános esetben a rendszer válaszát a változók valamilyen függvénye írja le $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

A rendszer matematikai modelljét úgy kapjuk meg, hogy ezt a függvényt valamilyen más, például lineáris függvényrel közelítjük.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

hol vannak a kívánt modellparaméterek. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Az ábra grafikusan mutatja be a fotolitográfiai eljárás lineáris modelljének felépítését, ahol az emulziós film vastagsága, az expozíciós idő, az adott körülmények között kapott felbontás. A függvény nemlineáris, azonban a pont kellő közelségében helyettesíthető érintősíkkal . Az ábrán látható területen a modell maximális hibája . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

A modell együtthatóinak ismeretében bizonyos pontossággal megjósolható a függvény értéke (és ezáltal a rendszer viselkedése) a pont közelében . A kísérlet célja az együtthatók értékeinek meghatározása . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Kísérletmátrix

Tegyük fel, hogy a technológiai folyamat kezdeti paraméterei: filmvastagság 55 mikron, expozíciós idő - 30 s, azaz

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Vegyük mindkét tényező felső és alsó értékét úgy, hogy az aktuális értékhez képest szimmetrikusan helyezkedjenek el, pl.

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Készítsünk egy táblázatot, amelyben mindkét tényező értéke minden lehetséges kombinációban szerepel, és ezeken a pontokon végezzünk méréseket (a válaszértékeket feltételesen adjuk meg):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {sor}}

Feltéve, hogy a folyamat lineáris modelljének van formája

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

A kapott eredmények alapján összeállítható egy négy, két változós egyenletrendszer. Ez a rendszer az alábbiakban látható, valamint annak rövidített jelölése mátrix formájában. Nevezzünk egy ilyen típusú mátrixot kísérleti mátrixnak .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{tömb}}\jobbra).

A kísérlet mátrixában a második és a harmadik oszlop a faktorok értékei, a negyedik oszlop a rendszer válaszának értékei, az első oszlop pedig a szabad tag egységegyütthatóinak megfelelő egységeket tartalmazza. modell . Ezt az oszlopot virtuális tényezőnek fogjuk tekinteni , amely mindig egyetlen értékeket vesz fel. $a_{0}$ $x_{0}$

A rendszer megoldása

A rendszer megoldásának megkönnyítése érdekében a tényezőket normalizáljuk. A faktorok felső értékéhez a normalizált értéket +1, az alsó értékekhez a normalizált értéket -1, az átlagos értékhez a normalizált értéket 0. Általában a faktor normalizálását a képlet fejezi ki.

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Figyelembe véve a tényezők normalizálását, az egyenletrendszer és a kísérlet mátrixa a következő alakot ölti majd:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{tömb}}\jobbra).

Mivel a mátrix második és harmadik oszlopában a tagok összege nulla, a modell metszéspontja mind a négy egyenlet hozzáadásával megtalálható:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

A modell bármely más együtthatójának megtalálásához módosítania kell az egyenletek előjeleit úgy, hogy csak egy legyen a megfelelő oszlopban, majd össze kell adnia mind a négy egyenletet:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Így a technológiai folyamat lineáris modellje az (55, 30) pont közelében a következő alakú

\ y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

Általában a rendszer megoldása így fog kinézni

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Visszatérés a nem normalizált tényezőkhöz

A normalizált tényezőkről a nem normalizált tényezőkre való átmenetet az inverz transzformáció hajtja végre

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

A nem normalizált koordináták modellparamétereinek megtalálásához a normalizált koordináták kifejezéseit behelyettesítjük a modellegyenletbe:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Az utolsó kifejezés összehasonlítása a lineáris modell kifejezésével nem normalizált koordinátákban

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

kifejezéseket kapunk a modell paramétereihez:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

Általában

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

A fenti példához

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Végül megkapjuk a modellt természetes koordinátákban:

{\displaystyle \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Teljes faktoriális kísérlet

PFE mátrix általános formában

Általában egy n faktoros teljes faktoriális kísérlet mátrixának alakja van

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

A PFE mátrix tulajdonságai

A PFE mátrix a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A mátrix sorainak száma 2 n ;
A mátrix nulla oszlopa egyesekből áll:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Az 1… n oszlopok az összes lehetséges 2 n -1 és +1 értékkombinációt tartalmazzák;
Az utolsó oszlop az 1… n oszlopok megfelelő soraiban rögzített tényezők értékeivel kapott mérési eredményeket tartalmazza .
A nulla oszlop elemeinek összege mindig 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Bármely oszlop elemeinek összege a nulla és az utolsó kivételével egyenlő nullával:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

Az utolsó két kifejezés egyetlen relációba kombinálható:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

hol van az identitásmátrix, ; $\delta _{{ij}}$ ${\megjelenítési stílus (i,j=0...n)}$

Bármely (az utolsó) oszlop elemeinek négyzetösszege mindig egyenlő 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Bármely két oszlop (az utolsó kivételével) megfelelő elemeinek szorzatának összege nulla:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

Az utolsó két kifejezés a mátrixoszlopok ortogonalitásaként írható fel:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Lineáris modell együtthatóinak számítása

A lineáris modell együtthatóit normalizált koordinátákban a következő képletekkel számítjuk ki:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

A lineáris modell együtthatóit természetes (nem normalizált) koordinátákban a következő képletekkel számítjuk ki:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Természetes tényezők átalakítása normalizáltakká és fordítva

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Lásd még

Kísérleti tervezés

Források

Építési modellek és elektronikus eszközök határvizsgálata: Módszer. utasítások / Összeg. A. N. Zsirabok, V. N. Ljahov. - Vlagyivosztok: Távol-keleti Állami Műszaki Egyetem Kiadója, 2006. - 32 p.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Kísérlet tervezése az optimális feltételek keresésében. - M .: Nauka, 1976. - 279 p., ill.

Montgomery D.K. Kísérleti tervezés és adatelemzés: Per. angolról. - L .: Hajógyártás, 1980. - 384 p., ill.