Ismétlési korlát

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2014. november 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

Lehetőség van az egyik változóra korlátozni több változó függvényében , a többi változó fix értékével. Az ismétlődő határérték egy ilyen művelet végrehajtásának eredménye az egyes változókon. $f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\ {{x}_{k}}$

Míg egy függvény korlátja úgy kerül kiszámításra, hogy minden argumentum egyszerre éri el a határait, az ismételt határértéket az egyes argumentumokhoz külön-külön végrehajtott, egymást követő határátmenetek eredményeként kapjuk meg.

Definíció

Tekintsünk két változó függvényét, amely a pont valamely szúrt környezetében van definiálva . A változó minden rögzített értékénél vegye figyelembe a határértéket: $f\left(x,y\jobb)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ $x$

\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right )

Feltételezzük, hogy ez létezik, és minden egyes értékéhez definiálva van . Az eredmény egy változó függvénye. Most fontolja meg a határt : $\varphi \left(x\right)$ $x$ $\varphi \left(x\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)

Ha ez a határ létezik, akkor azt mondjuk, hogy a függvénynek ismétlődő korlátja van a pontban . $A$ $f\left(x,y\jobb)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Hasonlóképpen először javíthatunk egy változót , és korlátozhatjuk a változót . Ebben az esetben is kapunk egy ismétlődő korlátot, de általában egy másikat: $y$ $x$

B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Ez a meghatározás több változó függvényeire is kiterjeszthető . $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\jobbra)$

Ismételt határértékek egyenlősége

Legyen a függvény a pont szúrt környezetében definiálva . Ha van (véges vagy nincs) kettős határ $f(x,y)$ $(a,b)$

\lim \limits _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A

és ha a pont bármelyik kilyukadt környékére létezik véges korlát $y$ $a$ $x$

\varphi (y)=\lim _{x\to a}f(x,y)

akkor van egy iteratív határ

$\lim _{y\to b}\varphi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

és egyenlő a duplával.

Lásd még

Funkciókorlát

Irodalom

Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. 14. fejezet: Több változó függvényei // A matematikai elemzés alapjai. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 648 p. — (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy). - 5000 példány. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Fikhtengolts, G.M. 5. fejezet Több változó függvényei // A differenciál- és integrálszámítás menete. 1. kötet - M. , 1962. - T. 1. - 608 p. — (Differenciál- és integrálszámítás tantárgy 3 kötetben).