Morina felület

A Morin-felszín egy köztes modell egy gömb alakváltozásához , amelyet Bernard Morin fedezett fel. A felület négyszeres forgásszimmetriával rendelkezik .

Ha a kifordítandó eredeti gömbnek zöld a külseje és piros a belseje, akkor a gömb homotópiával Morin felületté alakításakor a kívülről látható Morin felület fele zöld, másik fele piros lesz:

A Morin felület fele a gömb külső felületének (zöld) felel meg,
amellyel homeomorf, a másik szimmetrikus fele pedig a gömb belső felületének (piros).

Ekkor a felületet a szimmetriatengelye körül 90°-kal elforgatva megváltozik a színei, azaz megváltozik az orientálható felület polaritása (belül-kint), így a homotópia lépéseinek megismétlése pontosan ugyanabból a pozícióból, fordított sorrendben az eredetivel gömb a Morin felület elforgatása után egy gömböt eredményez, melynek külső oldala piros, a belső oldala zöld, azaz fordított gömb. Az alábbiakban bemutatjuk a forgatás lépéseit:

1. gömb: kívül zöld, belül piros...
2. átalakítani...
3. Morin felület,
3'. a Morin felület 90°-kal el van forgatva...
2'. inverz transzformáció... 1'
-re. gömb: kívül piros, belül zöld.

Morin felületi textúrája

Morin felülete négy egybevágó részre osztható. Ezekre a szakaszokra itt keleti, déli, nyugati és északi, illetve 0. szakasz, 1. szakasz, 2. szakasz és 3. szakaszként hivatkozhatunk.

A Morina felszín keleti szakasza.

A Morin felületnek négy pontja van, amelyeken a szimmetriatengely áthalad. Ez a négy pont a hat horgonypontvonal kezdő- és végpontja. Mind a négy szakaszt három csomóponti vonal határolja, így a négy szakasz mindegyike egy háromszög homeomorf. A keleti szakaszt most sematikusan ábrázoltuk: Az ábra a három ABCDA, AEFGA és AHIJA hurok által határolt keleti szakaszt mutatja. A harmadik hurok, az AHIJA a rögzítési pontok vonala, ahol a keleti szakasz metszi magát. Az ABCDA hurok az a hotspot vonal, amely a keleti szakaszt a nyugati szakaszhoz köti, az AEFGA hurok pedig az a hotspot vonal, amely a keleti szakaszt a déli szakaszhoz köti. A pont itt négy különböző pontot fed át: .

${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$

Így viszonyul a keleti szakasz a többi szakaszhoz: minden határoló hurkát definiálja egy rendezett 4 pont, majd

{\megjelenítési stílus (A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})}

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

{\megjelenítési stílus (A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})}

ahol a vonal nélküli pontok a 0. szakaszhoz (Kelet), az egy vonású pontok az 1. szakaszhoz (Dél), a két vonásos pontok a 2. szakaszhoz (Nyugat), a három vonásos pontok a 3. (Észak) szakaszhoz tartoznak.

A fennmaradó három hurok a következőképpen köti össze a szakaszokat:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ egy}).

A keleti szakasznak önmagában véve van egy horgonypontja: AHIJA. Ha a felület ki van hajtva, a lapos eredmény a következő lesz: ami egy háromszög homeomorf:

Négy háromszög alakú metszet varratánál összekapcsolva egy tetraédert kapunk : amely egy gömbhöz képest homeomorf, ez azt mutatja, hogy a Morin-felület egy önmagát metsző gömb.

Morin felületek galériája

Négy különböző nézet Morin felületéről: az első kettő az „átmeneti korlátok” kivágásával, az utolsó kettő „alulról” látható.

Morin analitikus felülete

A Morin felület elegánsan leírható egyenletekkel [1] akár nyitott változatban (végtelenben lévő pólusokkal), akár zárt változatban.

Morin felületek galériája

Lásd még

Gömb verzió

Jegyzetek

↑ Bednorz, Bednorz, 2017 .

Irodalom

Adam Bednorz, Witold Bednorz. Analitikus szféraváltoztatás minimális topológiai eseményekkel. — 2017.

Linkek

"Turning a Sphere Inside Out" archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
A Sphere Eversions története archiválva 2020. július 11-én a Wayback Machine -nél