Sorozat sűrűsége

A sorozatsűrűség az általános additív számelmélet fogalma , amely az általános alakú egész sorozatok összeadásának törvényeit vizsgálja. Egy sorozat sűrűsége annak mértéke, hogy az összes természetes szám sorozatából mennyi tartozik egy adott nemnegatív egész számsorozathoz . A szekvenciasűrűség fogalma az A szekvencia Schnirelmann által 1930-ban bevezetett sűrűségére utal (innen ered a kifejezés angol neve - Schnirelmann density), nevezetesen: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots$ $d(A)$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

ahol a sorozat tagjainak száma nem haladja meg a . $\pi _{A}(n)$ $A$ $n$

Kapcsolódó definíciók

Legyen a sorozatok számtani összege és , azaz a halmaz . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\))$

Ha hisznek , hasonlóan stb. $A=B$ $2A=A+A$ $3A=2A+A$

Ha , akkor a sorrend bázisának nevezzük . ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+))$ $A$ $n$

Tulajdonságok

A sűrűség akkor és csak akkor, ha egybeesik az összes nem negatív egész szám halmazával. $d(A)=1$ $A$ $\Z_+$
Shnirelman egyenlőtlensége

d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)

Mann-Dyson egyenlőtlenség

{\displaystyle d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\))

Shnirelman egyenlőtlenségéből következik, hogy bármely pozitív sűrűségű sorozat véges rend alapja. Ennek a ténynek az additív problémákra való alkalmazása, amelyekben gyakran nulla sűrűségű sorozatokat összegeznek, úgy hajtják végre, hogy adott szekvenciákból új, pozitív sűrűségű szekvenciákat készítenek elő. Például szitamódszerek segítségével bebizonyosodott , hogy a sorozat , ahol a prímszámokon fut át , pozitív sűrűségű. Ez magában foglalja Shnirelman tételét : létezik olyan egész szám , hogy bármely természetes szám legfeljebb prímszámok összege. Ez a tétel megoldást ad az ún. legyengült Goldbach probléma . $\{p\}+\{p\}$ $p$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Változatok és általánosítások

A sorozatsűrűség fogalmának egy változata az aszimptotikus sűrűség fogalma , amelynek speciális esete a természetes sűrűség .

A sorozatsűrűség fogalmát a természetes sorozatoktól eltérő numerikus sorozatokra általánosítják, például az algebrai számmezőkben lévő egész számok sorozataira. Ennek eredményeként lehetséges az algebrai mezők bázisainak tanulmányozása.