Periodogram
A periodogram a teljesítményspektrális sűrűség (PSD) becslése , amely egy adatsorozat Fourier-transzformációjának négyzetes modulusának kiszámításán alapul. Ha a súlyfüggvényt ( ablak ) használjuk a PSD számításánál, akkor a PSD kapott becslését módosított periodogramnak nevezzük [1] . A periodogram nem konzisztens becslése a PSD-nek, mivel egy ilyen becslés szórása összemérhető a matematikai várakozás négyzetével. Ahogy a használt számlálások száma növekszik, a periodogramok értékei egyre gyorsabban kezdenek ingadozni.
Matematikai leírás
A periodogram kifejezésnek számos definíciója létezik a szakirodalomban. Az egyik a Fourier-transzformáció négyzetes modulusának átlagolásához kapcsolódik egy bizonyos mérési mintán [2] :
![{\displaystyle S_{T}(\omega )=E\left[{\frac {|X_{T}(i\omega )|^{2}}{T_{r}}}\jobbra]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46be83640fcd97c6a0d8ea9b588ab6868a97dc2d)
ahol a függvény Fourier-transzformációjának amplitúdója véges időintervallumon, a végességi intervallum, a statisztikai átlagoló operátor ( várakozás ).
Az angol nyelvű szakirodalomban [3] és a népszerű szoftvermegvalósításokban [4] [5] azonban rendszerint egyszerűen a Fourier-transzformáció amplitúdómodulusának négyzete. Az ilyen osztályozásokban az időátlagolás Bartlett és Welch [6] módszeréhez van hozzárendelve .
Történelmi információk
A periodogram kifejezést először Arthur Schuster említette 1898-ban [8] . Schuster a periodogramot arra használta, hogy periodicitást találjon a meteorológiai megfigyelések rekordjaiban, a mágneses deklináció rekordjaiban és a napfoltszámok sorozatában . Elvégezte a havi átlagos napfoltszámok előfeldolgozását 1749 és 1894 között. A periodogram elemzése lehetővé tette a napfoltciklus 11,125 éves becslését. Schuster számos nehézségre hívta fel a figyelmet a periodogram kiszámításával és jellemzőivel kapcsolatban. Az idő eredetének megváltoztatásával periodogrammintákat kapott különféle szabálytalan változásokkal, és ezek a periodogramok néha hamis csúcsokat tartalmaztak (Schuster "véletlen periodicitásnak" nevezte őket), ahol a valóságban nem létezett periodicitás. Schuster az optikai spektrumok harmonikus elemzése során szerzett tapasztalataiból tudta, hogy az adatsor különböző szegmenseihez kapott értékek átlagolására van szükség a periodogram simításához (az ő terminológiájában "átlagos periodogram" kinyeréséhez) és a hamis csúcsok kiküszöböléséhez. És bár Schuster megállapította az átlagolás szükségességét, ennek gyakorlati megvalósítása az akkori technikai lehetőségeket messze meghaladó számítási eszközöket igényelt. Schuster azt is felismerte, hogy a periodogramban a főlebenyek körüli oldallebenyek (amelyeket "hamis periodicitásoknak" nevezett) a véges hosszúságú adatrekordok Fourier -analízisének bármely módszerének velejárója.
A múlt század eleji kutatók közül sokan úgy vélték, hogy a zajos adatokból számolt periodogramok jelentős hibákat tartalmaznak, és egyáltalán nem tartalmaznak domináns csúcsokat, ami az elemzett adatok periodicitásának jelenlétére utalhat. Ráadásul ezt még akkor is méltányosnak tartották, amikor az adatrekord hossza jelentősen megnőtt. Ilyen periodogramokra mutatunk be példákat az ábrán, amelyen látható, hogy egyre több adatminta felhasználásával a periodogram egyre jobban ingadozni kezd. Mindez oda vezetett, hogy több évtizedre jelentősen gyengült a periodogramok iránti érdeklődés, és ez elsősorban azzal magyarázható, hogy a legtöbb kutató figyelmen kívül hagyta a Schuster által javasolt átlagolást. Slutsky és valamivel később Daniell egymástól függetlenül megállapították, hogy a fehérzaj -periodogram fluktuációi ugyanolyan nagyságúak, mint magának a periodogramnak az átlagértéke. Ezek az ingadozások többnyire nem korreláltak a szomszédos frekvenciákon. Slutsky és Daniell azt javasolták, hogy a periodogram fluktuációja csökkenthető a szomszédos frekvenciák átlagolásával. Ez az ötlet az egyik periodogram simítási módszer alapja.
Lásd még
Irodalom
- Marple Jr. SL Digitális spektrális analízis és alkalmazásai . - M . : MIR, 1990. - S. 584. Archív másolat 2009. január 24-én a Wayback Machine -nél
- Hayes MH Statisztikai digitális jelfeldolgozás és modellezés. – John Wiley & Sons, 2009.
- Iphicher E., Jervis B. Digitális jelfeldolgozás: gyakorlati megközelítés. - 2. - M. : Williams, 2004. - S. 992. - ISBN 5-8459-0710-1 (orosz).
- Shakhtarin B. I., Kovrigin V. A. Véletlenszerű folyamatok spektrális becslésének módszerei. - M . : Helios ARV, 2005. - S. 248. - ISBN 5-85438-136-2 .
- Sergienko AB Digitális jelfeldolgozás. - 2. - Szentpétervár. : Péter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
Linkek
- ↑ Hayes, 2009 , p. 408-412.
- ↑ Marple Jr. S. L., 1990 , p. 190.
- ↑ Hayes, 2009 , p. 394.
- ↑ scipy.signal.periodogram . Letöltve: 2019. augusztus 5 .. Archiválva az eredetiből: 2019. augusztus 5.
- ↑ periodogram (MathWorks) . Letöltve: 2019. augusztus 5 .. Archiválva az eredetiből: 2019. augusztus 5.
- ↑ scipy.signal.welch . Letöltve: 2019. augusztus 5 .. Archiválva az eredetiből: 2019. augusztus 5.
- ↑ Marple Jr. S. L., 1990 , p. 22.
- ↑ Schuster, A., "A rejtett periodicitások vizsgálatáról a meteorológiai jelenségek feltételezett 26 napos periódusára vonatkozóan", Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity , 3, 13-41, 1898.