Mandelstam változói

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Mandelshtam változói három skaláris relativisztikus invariáns mennyiség , amelyek megőrződnek két elemi részecske szórásának folyamatában, két új képződésével vagy két régi elemi részecske megőrzésével, vagy egy elemi részecske háromra bomlásának folyamatában. Általában . Stanley Mandelstam (1928-2016) amerikai fizikus vezette be őket 1958-ban [1] . A szórási folyamat teljes mértékben leírható mindössze két Mandelstam-változó értékének megadásával. Mindegyik egyenlő néhány részecskepár összenergiájának négyzetével abban a koordinátarendszerben, amelyben a középpontjuk nyugalomban van. [2] $s,t,u$

Definíció

Tekintsük azt a folyamatot, amikor két elemi részecske energia-impulzus vektorokkal szóródik, és két új elem kölcsönhatása vagy két régi elemi részecske energia-impulzus vektorokkal való kölcsönhatása után keletkezik . Az energia és a tömeg közötti kapcsolat: ${\displaystyle p_{1},p_{2))$ ${\displaystyle p_{3},p_{4))$

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2 }.

Téridőben egy metrikával a formát veszik fel $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

vagy relativisztikus egységekben ${\megjelenítési stílus (c=1)}$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Itt van az elemi részecske indexe. Az energia-impulzus vektor egyes összetevőinek megmaradását a következő egyenlettel fejezzük ki: $i=1,2,3,4$

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Ebből az egyenletből három Mandelstam-változó származtatható relativisztikus egységekben : ${\megjelenítési stílus (c=1)}$

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2))$
${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2))$
$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

Tulajdonságok

A Mandelstam-változókat a következő reláció kapcsolja össze:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Következtetés

A levezetéshez két relációt használunk:

A négy impulzus négyzete egyenlő a tömegek négyzetével:

p_{i}^{2}=m_{i}^{2}

Négy impulzus mentése:

{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4))

{\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4))

Ilyen módon:

{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2))

{\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3))

{\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4))

A tömegek négyzeteit összegezve és behelyettesítve kapjuk:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^ {2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Megjegyezzük, hogy az utolsó négy kifejezés eltűnik a négy lendületű konzerváció miatt:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\ cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

Ilyen módon:

{\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2))

Jegyzetek

↑ Mandelstam, S. A pion-nukleon szórási amplitúdó meghatározása diszperziós viszonyok és egységesség alapján // Fizikai áttekintés : folyóirat . - 1958. - 1. évf. 112 , sz. 4 . - 1344. o . - doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . - . Archiválva : 2000. május 28.
↑ Ziman, 1971 , p. 226.

Irodalom

Ziman J. Modern kvantumelmélet. - M . : Mir, 1971. - 288 p.