Első és második Ljapunov-módszer

A stabilitás tanulmányozására szolgáló összes módszert, amelyet A. M. Ljapunov [1] dolgozott ki , két módszerre (két kategóriába) osztotta.

Az első módszer magában foglalja a stabilitás vizsgálatának minden módszerét, „amely a perturbált mozgás közvetlen vizsgálatához vezet, és amelyek a differenciálegyenletek általános vagy sajátos megoldásainak keresésén alapulnak. Általában ezeket a megoldásokat a végtelen sorozatok leple alatt kell majd keresni. . . Ez a lényege egy tetszőleges állandók pozitív egész hatványaiba rendezett sorozatnak. De a továbbiakban találkozunk majd néhány más jellegű sorozattal is” [1] . Néha a linearizációs módszert az első Ljapunov-módszernek is nevezik. Ez azonban nem így van: az első közelítésben szereplő aszimptotikus stabilitásra és instabilitásra vonatkozó tételek igazolhatók mind az első, mind a második Ljapunov-módszer vizsgálati módszereinek alkalmazásával. A. M. Lyapunov a második módszerre hivatkozik a stabilitás vizsgálatának minden olyan módszerére, amely az u, t változók függvényeinek megtalálásán alapul, „bizonyos adott feltételek szerint, amelyeknek teljesülniük kell a t-re vonatkozó összes deriváltjaiknak, feltéve, hogy” u = u(t ) egy függvény, amely kielégíti az egyenletet

ẋ = F(x, t). (egy)

A második Ljapunov-módszert gyakran nevezik direkt módszernek. Megjegyzendő, hogy Ljapunov előtt az első és a második módszerrel kapcsolatos stabilitásvizsgálati módszereket speciális esetekben A. Poincaré használta [2]-ben . Amint azt maga A. M. Ljapunov is megjegyezte értekezésében [1] : „Bár Poincare nagyon speciális esetekre korlátozódik, az általa használt módszerek sokkal általánosabb alkalmazásokat tesznek lehetővé, és sokkal több új eredményhez vezethetnek. Kutatásaim nagy részében a megnevezett emlékiratokban [2] foglalt gondolatok vezéreltek.

Ljapunov első módszere lehetővé tette számára, hogy számos nagyon mélyreható és fontos eredményt érjen el. Példaként megjegyezzük az általa az első módszer alapján kidolgozott feltételes stabilitás elméletét [1] . Ennek a módszernek az egyik előnye, hogy a legfinomabb esetekben is működik, és nem csak kvalitatív képet ad a vizsgált jelenségről, hanem a vizsgált megoldások explicit formáját is megkonstruálja. Ljapunov második módszerét több általa felállított alaptételre alapozza. Ezek a tételek annyira hatékonynak bizonyultak, hogy segítségükkel kivételesen egyszerű módon megoldható volt a stabilitási probléma első közelítésben. Ugyanakkor lehetővé tették Ljapunovnak, hogy fontolóra vegyen néhány alapvető kritikus esetet, amikor az első közelítés nem oldja meg a stabilitási problémát. Jelenleg a két módszer közül a direkt Ljapunov-módszer a legszélesebb körben alkalmazott egyszerűsége és hatékonysága miatt.

A direkt (második) Ljapunov-módszer stabilitási tételei

Tételeket mutatunk be egy perturbált rendszer nulla megoldásának térbeli stabilitására abban a speciális esetben, amikor az autonóm, azaz a következő alakja van:

. (2)

Feltételezzük, hogy , tehát ez az egyenlet megoldása. Ehhez a problémához az autonóm rendszer egyensúlyi stabilitásának vizsgálatával jutunk el

. (3)

Bármely folytonosan differenciálható V(u) függvényre, amely a 0 ꞓ R n pont valamelyik D szomszédságában van definiálva, definiáljuk V a V(u) függvény deriváltját a (2) differenciálegyenlettel, beállítás

. (négy)

Ha u(t) a (2) egyenlet bármely megoldása, akkor a képlet

. (5)

ami megerősíti a definíció célszerűségét (4).

Egy V(u) függvényt D-ben előjel-pozitívnak nevezünk, ha V(0) = 0, V(u) ≥ 0 mindenre és a D tartományából (D a nulla valamely környéke R n -ben ). Egy V(u) függvényt határozottan pozitívnak (vagy pozitív határozottnak) nevezünk, ha u pozitív előjelű, sőt, V(u) > 0 minden 0-tól eltérő u ꞓ D esetén.

Az előjel-negatív és határozottan negatív függvényeket hasonlóan definiáljuk.

Egy V függvényt állandó előjelűnek mondunk, ha pozitív vagy negatív előjelű. Egy V függvényt előjel-határozottnak nevezünk, ha pozitív-definit vagy negatív-definit. Ha a V függvény pozitív és negatív értékeket is vesz fel a D tartományban, akkor ebben az esetben V-t váltakozó függvénynek nevezzük.

Az alábbi 1-4. tétel feltételezi, hogy V(u) a 0 ꞓ R n pont valamelyik D szomszédságában definiált folytonosan differenciálható függvény ; a V'(u) jelölést használjuk, amely a V(u) függvény deriváltja a (2) differenciálegyenlet alapján.

Ha létezik egy határozottan pozitív V(u) függvény, amelynek V'(u) deriváltja negatív előjelű, akkor u 0 (t) a (2) egyenlet stabil megoldása. Legyen egy határozottan pozitív V(u) függvény, amelynek V'(u) deriváltja határozottan negatív függvény. Ekkor u 0 (t) a (2) egyenlet aszimptotikusan stabil megoldása.

Ha létezik olyan pozitív határozott V(u) függvény, hogy V'(u) < 0 M-en kívül és V'(u) ≤ 0 M-en, ahol M egy halmaz, amely nem tartalmazza a (2) egyenlet teljes pályáját, kivéve a nullapont, akkor a (2) egyenlet u 0 (t) nulla megoldása aszimptotikusan stabil.

Egy V(u) függvényt végtelenül nagynak nevezünk, ha bármely K > 0 pozitív számra létezik olyan R > 0, hogy |u| > R ebből következik, hogy |V(u)| >K.

4. Tétel (az aszimptotikus stabilitásról általában [3] ). Ha létezik egy határozottan pozitív, végtelenül nagy V(u) függvény, amelynek V'(u) deriváltja határozottan negatív függvény a teljes térben, akkor a (2) egyenlet u 0 (t) nulla megoldása globálisan aszimptotikusan stabil. Azokat a függvényeket, amelyek kielégítik a közvetlen Ljapunov-módszer 1-2. tételét, Ljapunov-függvényeknek nevezzük. A megfelelő Ljapunov-függvény megléte elegendő feltétele a megoldás stabilitásának vagy aszimptotikus stabilitásának.

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 4 Lyapunov A. M. A mozgásstabilitás általános problémája. — M.: Gostekhizdat, 1950.
  2. ↑ 1 2 Poincare A. Differenciálegyenletekkel meghatározott görbéken. M.: Gostekhizdat, 1947
  3. ↑ 1 2 Barbashin E. A. Bevezetés a stabilitás elméletébe. - M., 1967.
  4. ↑ Krasovsky N. N. A mozgásstabilitás elméletének néhány problémája. — M.: Gostekhizdat, 1959.

Irodalom