Párhuzamos átvitel

A párhuzamos fordítás egy sima köteg alapjának darabonkénti sima görbéjének végei feletti rétegek izomorfizmusa , amelyet valamilyen adott kapcsolat határoz meg a -n . Különösen a és érintőterek lineáris izomorfizmusa , amelyet egy görbe mentén határoz meg valamilyen affin kapcsolat , amely a -n adott . $\eta :E\to B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Párhuzamos fordítás affin kapcsolat mentén

Adjunk meg egy affin kapcsolatot egy sima elosztón . Egy vektort úgy mondunk, hogy egy vektor párhuzamos transzlációjával kapunk egy sima görbe mentén önmetszéspontok nélkül, ha van egy sima vektormező a görbe közelében , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma :[0,1]\to M$ $x$

egyenlőségek és teljesülnek ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
bármely értékre érvényes az egyenlőség , ahol a szimbólum a kovariáns deriváltot jelöli , és a sebességvektor . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\pont {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\pont {\gamma }}(t)$ $\gamma$

Megjegyzés. Mivel a helyi koordinátákban az egyenlőség igaz:

(\nabla _{\pont {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\pont {\gamma }}^{k}

és ebben a kifejezésben nincsenek parciális származékai a vektor komponenseinek, a párhuzamos transzláció definíciójában nem szükséges megkövetelni, hogy a vektormező az útvonal teljes szomszédságában legyen definiálva, elég, ha létezik és simán végig ezen az úton egyedül. $x$ $x$ $\gamma (t)$

Egy darabonként sima görbe mentén történő párhuzamos fordítás (beleértve az önmetszéspontokkal rendelkező görbéket is) úgy definiálható, mint a párhuzamos fordítások szuperpozíciója a nem önmagát metsző sima darabok mentén.

Egy vektor párhuzamos transzlációjának koncepciója alapján definiáljuk egy tetszőleges vegyértékű tenzor párhuzamos fordításának fogalmait.

Vektorok párhuzamos fordításának tulajdonságai

A közönséges differenciálegyenletek elmélete szerint egy tetszőleges lineáris ODE Cauchy-probléma megoldása a végtelenségig folytatódik bármely sima görbe mentén, ezért a kezdeti pontban egy vektor megadásával és a párhuzamos transzláció útvonalának megadásával ez a vektor egyedi módon kerül átvitelre. ennek az útnak bármely pontjára.
Ha vektorokat ugyanazon az útvonalon fordítunk le, a köztük lévő összes lineáris kapcsolat megmarad.
A vektorok átvitele reverzibilis: elég a végvektorokat a visszatérési úton átvinni, hogy megkapjuk az eredeti vektorokat.
Az előző két tulajdonság következtében kiderül, hogy a görbe mentén történő párhuzamos fordítás operátora a és a terek lineáris izomorfizmusa . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Ha egy affin kapcsolat konzisztens egy metrikus tenzorral egy Riemann-sokaságon ( a Levi-Civita kapcsolat ), akkor a fordítási operátor ortogonális, azaz megőrzi a vektorok pontszorzatait, azok hosszát és a köztük lévő szögeket.
A párhuzamos fordítás fontos tulajdonsága az is, hogy a fordítási eredmény független az útvonalparaméterezéstől (az egyenértékű útvonalak ugyanazt az eredményt adják). Ugyanakkor a különböző görbék mentén történő párhuzamos fordítás általában eltérő eredményekhez vezet.

Kapcsolódó definíciók

A geodetikus egy olyan sima út, amelynek érintővektorát minden pontban az érintővektor bármely más pontból történő párhuzamos transzlációjával kapjuk.
A holonómiacsoport az érintőtér automorfizmusainak csoportja , amelyet zárt darabonként sima görbék mentén párhuzamos fordítások határoznak meg. Sőt, egy csatlakoztatott elosztó esetén, és mindig konjugáltak. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ ${\displaystyle \Phi _{y))$

Történelem

A párhuzamos fordítás fogalmának kialakulása az euklideszi síkon szokásos párhuzamossággal kezdődött, amelyhez Minding 1837-ben jelezte annak lehetőségét, hogy a felület esetére általánosítsák az általa bevezetett, a görbe egy felületre való kibontásának koncepciójával. sík . Mindingnek ez a jelzése szolgált kiindulópontul Levi-Civita számára, aki egy érintővektor felületen történő analitikusan párhuzamos transzportját formalizálva fedezte fel annak függését csak a felület metrikájától, és ennek alapján azonnal általánosította -dimenziós Riemann-tér esete (lásd Levi-Civita kapcsolat ) . E fogalom további általánosításai az általános összefüggéselmélet fejlődéséhez kapcsolódnak. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Irodalom

Rashevsky PK Riemann geometria és tenzoranalízis. - Bármilyen kiadás.
Kobayashi Sh., Nomizu K. A differenciálgeometria alapjai. — Novokuznyeck Fizikai és Matematikai Intézet. - T. 1. - 344 p. - ISBN 5-80323-180-0 .