Parabola | |
---|---|
Parabola, fókusza és irányvonala | |
Különcség | |
Egyenletek | |
Egyéb kúpos szakaszok | |
A parabola ( görögül παραβολή - közelítés [1] ) egy síkgörbe, a kúpszeletek egyik fajtája .
Az ókori matematikusok úgy határozták meg a parabolát, mint egy körkúp metszéspontját egy olyan síkkal, amely nem megy át a kúp tetején, és párhuzamos a generatrixával (lásd az ábrát). Az analitikus geometriában egy ekvivalens definíció kényelmesebb: a parabola olyan pontok lokusza egy síkon, amelyeknél egy adott pont távolsága ( fókusz ) egyenlő egy adott egyenes távolságával ( irányvonal ) (lásd az ábrát) [ 2] .
Ha a fókusz a direktrixen van, akkor a parabola szaggatott vonallá degenerálódik .
Az ellipszissel és a hiperbolával együtt a parabola egy kúpszelet . Egységnyi excentricitású kúpszelvényként definiálható .
A parabola irányvonalához legközelebb eső pontját a parabola csúcsának nevezzük . A csúcs a fókuszból az irányítópontra ejtett merőleges felezőpontja.
A parabola kanonikus egyenlete téglalap alakú koordinátarendszerben :
(vagy , ha a koordinátatengelyek megfordulnak).A p számot fókuszparaméternek nevezzük, ez egyenlő a fókusz és a direktrix távolságával [3] . Mivel a parabola minden pontja egyenlő távolságra van a fókusztól és az irányítóponttól, így a csúcs is az, így a fókusz és az irányító között helyezkedik el , mindkettőtől távol.
Következtetés |
---|
PQ irányegyenlet : , F fókusznak vannak koordinátái . Így az O origó a CF szakasz felezőpontja. A parabola definíciója szerint bármely rajta fekvő M pontra teljesül a KM = FM egyenlőség . Továbbá mivel és , akkor az egyenlőség a következő alakot ölti: Négyzetesítés és néhány átalakítás után egy ekvivalens egyenletet kapunk |
A másodfokú függvény is egy parabola egyenlete, és grafikusan ugyanaz a parabola ábrázolja, mint, de az utóbbitól eltérően nem az origóban, hanem egy A pontban van egy csúcsa, amelynek koordinátáit a következő képletek számítják ki:
hol van egy négyzetes trinom diszkriminánsa .A parabola másodfokú függvénnyel megadott szimmetriatengelye az y tengellyel párhuzamos csúcson halad át. A > 0 ( a < 0 ) esetén a fókusz ezen a tengelyen van a csúcs felett (alatt) 1/4 a távolságra , a direktrix pedig a csúcs alatt (felett) azonos távolságra, és párhuzamos a x tengely. Az egyenlet ábrázolható formában , és az origó A pontba való átvitele esetén a parabola egyenlet kanonikussá válik. Így minden másodfokú függvényhez találhatunk olyan koordinátarendszert, amelyben a megfelelő parabola egyenlete kanonikusként van ábrázolva. Ahol
Általában egy parabolának nem kell a koordinátatengellyel párhuzamos szimmetriatengelye lennie. Azonban, mint minden más kúpszelet, a parabola is egy másodrendű görbe , ezért egyenlete a síkon a derékszögű koordinátarendszerben másodfokú polinomként írható fel:
Ha egy ebben a formában adott másodrendű görbe parabola, akkor a legmagasabb tagú együtthatókból álló diszkrimináns nulla.
A parabola tengelye mentén (a fókusztól a csúcsig) a fókuszban és a nulla irányú középpontú poláris koordinátákkal rendelkező parabola ábrázolható az egyenlettel
ahol p a fókuszparaméter (a fókusz és az irányvonal távolsága vagy a fókusz és a csúcs távolságának kétszerese)
Ha az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola egyenletéhez a parabola három különböző pontjának koordinátái ismertek , akkor együtthatói a következőképpen kereshetők:
Ha a csúcs és a vezető együttható adott , akkor a fennmaradó együtthatókat és gyököket a következő képletekkel számítjuk ki:
A természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény grafikonjait sorrendi paraboláknak nevezzük [5] [6] . A korábban vizsgált definíció , azaz egy 2. rendű parabolának felel meg.
A parabola is egy szinuszos spirál at ;
Egyes kozmikus testek ( üstökösök , aszteroidák és mások), amelyek egy csillag vagy más hatalmas objektum ( csillag vagy bolygó ) közelében kellően nagy sebességgel haladnak el, parabola (vagy hiperbola ) alakúak. Ezeket a testeket nagy sebességük miatt nem fogja be a csillag gravitációs tere, és folytatják szabad repülésüket. Ezt a jelenséget űrhajók (különösen a Voyager járművek) gravitációs manővereihez használják .
A földi körülmények között a súlytalanság megteremtése érdekében a repülőgépek parabola pályán, az úgynevezett Kepler-parabolán repülnek.
Légellenállás hiányában a test repülési útvonala az egyenletes gravitációs tér közelítésében parabola.
Ezenkívül parabolatükröket használnak a Cassegrain, Schmidt-Cassegrain, Newton rendszerek amatőr hordozható teleszkópjaiban, és a parabola fókuszába kiegészítő tükröket szerelnek fel, amelyek a képet a szemlencsébe táplálják.
Amikor egy folyadékot tartalmazó edény függőleges tengely körül forog, az edényben lévő folyadék felülete és a függőleges sík egy parabola mentén metszi egymást.
A parabola azon tulajdonságát, hogy a parabola tengelyével párhuzamos sugárnyalábot fókuszál, keresőlámpák, lámpák, fényszórók, valamint visszaverő teleszkópok (optikai, infravörös, rádiós ...) tervezésénél használják. szűken irányított ( műholdas és egyéb) antennák, amelyek szükségesek az adatok nagy távolságra, naperőművekbe és más területekre történő továbbításához.
A parabola formát néha az építészetben használják tetők és kupolák építésére.
Parabolikus pálya és a műhold mozgása rajta (animáció)
Eső kosárlabda _
Parabolikus naperőmű Kaliforniában , Amerikai Egyesült Államokban
A vízsugarak parabolikus pályái
Forgó edény folyadékkal
Parabola - antipodera egyenes
Görbék | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definíciók | |||||||||||||||||||
Átalakult | |||||||||||||||||||
Nem síkbeli | |||||||||||||||||||
Lapos algebrai |
| ||||||||||||||||||
Lapos transzcendentális |
| ||||||||||||||||||
fraktál |
|
Kúpos szakaszok | |
---|---|
Főbb típusok | |
Elfajzott | |
Az ellipszis speciális esete | Kör |
Geometriai konstrukció | |
Lásd még | Kúpos állandó |
Matematika • Geometria |