Egyenértékűségi reláció

Az ekvivalenciareláció egy adott halmaz elemei közötti bináris reláció , amelynek tulajdonságai hasonlóak az egyenlőségi relációéhoz .

Definíció

Az ekvivalenciareláció ( ) egy halmazon egy bináris reláció , amelyre a következő feltételek bármelyikére teljesülnek : $\sim$ $x$ $ABC$ $x$

reflexivitás : ; $a\sim a$
szimmetria : ha , akkor ; $a\sim b$ $b\sim a$
tranzitivitás : ha és , akkor . $a\sim b$ $b\sim c$ $a\sim c$

Az olyan bejegyzés, mint a " ", a rendszer a következővel egyenértékű: ". $a\sim b$ $a$ $b$

Kapcsolódó definíciók

Az elem ekvivalencia osztály olyan elemek részhalmaza, amelyek ekvivalensek ; vagyis $[a]\subset X$ $a\in X$ $a$

{\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\))

A fenti definícióból rögtön következik, hogy ha , akkor . $b\in[a]$ $[a]=[b]$

A faktorhalmaz egy adott halmaz összes ekvivalenciaosztályánakegy adott relációra vonatkozó, amelyet jelöl. $x$ $\sim$ $X/{\sim }$

Az elem ekvivalencia osztályához a következő jelölést használjuk : , , . $a$ $[a]$ $a/{\sim }$ ${\overline {a}}$

Az ekvivalenciaosztályok halmaza a -hoz képest a halmaz egy partíciója . $\sim$

Példák

Egyenlőség (" "), egy triviális ekvivalencia reláció bármely halmazon, különösen a valós számokon . $=$
Modulok összehasonlítása : a ≡ b (mod n).
Az euklideszi geometriában
- Egybevágósági reláció (" "). $\cong$
- Hasonlósági reláció (" "). $\sim$
- Az egyenesek párhuzamosságának viszonya (" ") (ha minden egyenest önmagával párhuzamosnak tekintünk). $\|$
Függvények ekvivalenciája a matematikai elemzésben : Egy függvényt ekvivalensnek nevezünk egy for függvénynek, ha megengedi a forma reprezentációját , ahol for . Ilyenkor a -t írják , szükség esetén emlékeztetve arra, hogy a függvények -vel való összehasonlításáról beszélünk . Ha for , a függvények és a for ekvivalenciája nyilvánvalóan ekvivalens a relációval . $f(x)$ $g(x)$ $x\jobbra nyíl x_{0}$ $f(x)=\alpha (x)g(x)$ $\alpha (x)\jobbra 1$ $x\jobbra nyíl x_{0}$ $f(x)\sim g(x)$ $x\jobbra nyíl x_{0}$ $g(x) \ne 0$ ${\displaystyle x\neq x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x\jobbra nyíl x_{0}$ $\lim _{{x\rightarrow x_{0}}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=1$
Normák ekvivalenciája vektortéren.
Halmazok ekvivalencia relációja .
Csoportok , gyűrűk , vektorterek izomorfizmusa
A kategóriák egyenértékűsége .
Egy izomorfizmus bizonyos kategóriában ekvivalencia relációt határoz meg ebben a kategóriában.
Egy sima sokaság sima atlaszainak ekvivalenciája .

Egyenértékűségi osztályok

Az ekvivalencia-relációnak megfelelő összes ekvivalenciaosztály halmazát a szimbólum jelöli, és a -hoz viszonyított faktorhalmaznak nevezzük . Ebben az esetben a szürjektív leképezés $\sim$ $X/{\sim }$ $\sim$

p\colon x\mapsto[x]

természetes leképezésnek (vagy kanonikus vetületnek ) nevezzük a hányadoshalmazra . $x$ $X/{\sim }$

Legyen és legyen halmazok, legyen leképezés, majd a szabály által meghatározott bináris reláció $x$ $Y$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $x\sim y$

x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X

egy ekvivalencia reláció -on . Ebben az esetben a leképezés indukálja a szabály által meghatározott leképezést $x$ $f$ ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$

{\overline {f}}([x])=f(x)

vagy ami ugyanaz,

(\overline {f}\circ p)(x)=f(x)

Ez a leképezés faktorizálását eredményezi szürjektív és injektív leképezéssé . $f$ $p$ $\overline {f}$

Lásd még

A toleranciareláció az ekvivalencia egy legyengített formája.
Az ekvivalencia egy logikai művelet.
egyenlőségjel .

Irodalom

A. I. Kostrikin , Bevezetés az algebrába. M .: Nauka, 1977, 47-51.
A. I. Maltsev , Algebraic Systems, Moszkva : Nauka, 1970, 23-30.
Egyenlőségi típusú reláció (ekvivalenciareláció) // Nagy Szovjet Enciklopédia (30 kötetben) / A. M. Prohorov (főszerkesztő). - 3. kiadás - M . : Szov. Enciklopédia, 1974. - T. XVIII. - S. 629. - 632 p.