A görbe szinguláris pontja

A görbe szinguláris pontja az a pont, amelynek szomszédságában nincs sima paraméterezés. A pontos meghatározás a vizsgált görbe típusától függ.

Algebrai görbék a síkban

Egy síkban lévő algebrai görbe olyan pontok halmazaként definiálható, amelyek kielégítik az alábbi alakú egyenletet , ahol egy polinomiális függvény : $\left(x,y\right)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\left(x,y\right)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Ha az origó a görbéhez tartozik, akkor . Ha , akkor az implicit függvénytétel garantálja a sima függvény létezését úgy, hogy a görbe az origó közelében ölt formát . Hasonlóképpen, ha , akkor van olyan függvény , hogy a görbe az origó szomszédságában kielégíti az egyenletet. Mindkét esetben létezik egy sima leképezés , amely egy görbét határoz meg az origó szomszédságában. Vegye figyelembe, hogy a koordináták origójának közelében $\left(0,0\right)$ $a=0$ $b_{2}\not =0$ $g$ $y=g\left(x\right)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\left(y\right)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.

A görbe szinguláris pontjai a görbe azon pontjai, ahol mindkét derivált eltűnik:

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Szabályos pontok

Hagyja, hogy a görbe áthaladjon az origón. Ha , akkor az alakban ábrázolható $y=mx$ $f$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\ dots

Ha , akkor az egyenletnek a pontban 1-es multiplicitású megoldása van, és az origó a görbe és az egyenes egyszeri érintkezési pontja . Ha , akkor 2-es vagy nagyobb multiplicitású megoldása van a pontban, és az egyenes érinti a görbét. Ebben az esetben, ha , a görbe kettős érintkezésben van a vonallal . Ha , és az at együttható nem egyenlő nullával, akkor az origó a görbe inflexiós pontja . Ez az érvelés a görbe bármely pontjára alkalmazható, ha az origót egy adott pontra mozgatjuk. [egy] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Dupla pontok

Ha a fenti egyenletben és , de legalább az egyik érték , vagy nem egyenlő nullával, akkor az origót a görbe kettős pontjának nevezzük. Tedd újra , akkor felveszi a formát $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $f$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\pontok .

A kettős pontokat az egyenlet gyökei alapján osztályozhatjuk . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Önmetszéspontok

Ha az egyenletnek két valós megoldása van -ben , vagyis ha , akkor az origót önmetszéspontnak nevezzük . A görbének ebben az esetben két különböző érintője van, amelyek az egyenlet két megoldásának felelnek meg . A függvénynek ebben az esetben van egy nyeregpontja az origóban. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Elszigetelt pontok

Ha az egyenletnek nincs valós megoldása -ben , vagyis ha , akkor az origót izolált pontnak nevezzük . A valós síkon a koordináták origója el lesz izolálva a görbétől, de a komplex síkon a koordináták origója nem lesz izolálva, és két képzeletbeli érintője lesz, amelyek megfelelnek az egyenlet két képzeletbeli megoldásának . A függvénynek ebben az esetben van egy lokális szélsőértéke az origóban. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Casps

Ha az egyenletnek egy valós megoldása van a 2-es multiplicitásban, vagyis ha , akkor az origót cusp -nak vagy cusp -nak nevezzük . A görbe ebben az esetben a szinguláris pontban irányt változtat, csúcsot alkotva. Az origó görbéjének egyetlen érintője van, amely két egybeeső érintőként értelmezhető. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

További besorolás

A csomó ( angol node ) kifejezést az elszigetelt pontok és az önmetszéspontok általános neveként használják. A csomópontok száma és a görbe csúcsainak száma a Plücker-képletekben használt két invariáns .

Ha az egyenlet egyik megoldása egyben az egyenlet megoldása is , akkor a görbe megfelelő ága inflexióval rendelkezik az origóban. Ebben az esetben a koordináták origóját öntangencia pontnak nevezzük . Ha mindkét ág rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, akkor osztó , és az origót biflektoidális pontnak (kettős érintkezési pontnak) nevezzük. [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}$ ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3))$

Több pont

Általános esetben, ha minden olyan tag, amelynek fokszáma kisebb, mint nulla, és legalább egy fokszámú tag nem egyenlő nullával, azt mondjuk, hogy a görbének több k sorrendje van . Ebben az esetben a görbének vannak érintői az origónál, de ezek egy része képzeletbeli vagy egybeeshet. [3] $k$ $k$ $k$

Paraméteres görbék

Az R 2 paraméteres görbéjét a g függvény képeként határozzuk meg : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). Egy ilyen görbe szinguláris pontjai azok a pontok, amelyekben

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Mindkét nézetben sok görbe megadható, de a két hozzárendelés nem mindig egyezik. Például a csúcspont megtalálható az x 3 − y 2 = 0 algebrai görbére és a g ( t ) = ( t 2 , t 3 ) paraméteres görbére is . Mindkét görbedefiníció szinguláris pontot ad az origónál. Azonban az y 2 − x 3 − x 2 = 0 görbe önmetszéspontja az origónál szinguláris egy algebrai görbe esetén, de ha g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t ) 2 −1)) paraméteresen meghatározott, a g ′( t ) derivált pár soha nem tűnik el, ezért a pont a fenti értelemben nem szinguláris.

A paraméterezés kiválasztásánál körültekintően kell eljárni. Például az y = 0 egyenes paraméteresen definiálható g ( t ) = ( t 3 , 0) alakban, és szinguláris pontja lesz az origóban. Ha azonban úgy van paraméterezve, hogy g ( t ) = ( t , 0 ), akkor nem lesz szinguláris pontja. Így technikailag helyesebb egy sima leképezés szinguláris pontjairól beszélni, nem pedig egy görbe szinguláris pontjairól.

A fenti definíciók kiterjeszthetők implicit görbékre , amelyek egy tetszőleges sima függvény f −1 (0) nullák halmazaként definiálhatók . A meghatározások kiterjeszthetők a magasabb dimenziójú terek görbéire is.

Hassler Whitney tétele szerint [4] [5] bármely R n -beli zárt halmaz f −1 (0) megoldások halmaza valamilyen f sima függvényre : R n → R. Ezért bármely parametrikus görbe implicit görbeként definiálható.

Az egyes pontok típusai

Példák különböző típusú szinguláris pontokra:

Elszigetelt pont : x 2 + y 2 \u003d 0,
Két egyenes metszéspontja : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( csúcs ): x 3 − y 2 = 0,
Csőr alakú csücske: x 5 − y 2 = 0.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Hilton II. fejezet, 1. §
↑ Hilton II. fejezet, 2. §
↑ Hilton II. fejezet, 3. §
↑ Brooker és Larden. Különböző baktériumok és katasztrófák. — Londoni Matematikai Társaság. Előadási jegyzetek 17. Cambridge. – 1975.
↑ Bruce és Giblin, Görbék és szingularitások , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (puha kötés)

Irodalom

Harold Hilton. Sík algebrai görbék . – Oxford, 1920.