Üzemeltetői norma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az operátornorma olyan norma , amelyet korlátos lineáris operátorokon határoznak meg egyik normált térből a másikba. Operátornak , alárendeltnek vagy indukált normának is nevezik .

Az operátori norma magát az operátorok lineáris terét alakítja át normált térré. Az operátorok lineáris topológiai terének megfelelő struktúráját normatopológiának vagy operátortopológiának ( specifikáció nélkül) nevezzük .

Definíció és jelölés

A következőkben K a fő mezőt jelöli , amely egy normál mező . Általában K = vagy K = . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Legyen V 1 és V 2 két normált lineáris tér K felett, és T egy lineáris operátor V 1 és V 2 között . Ha létezik olyan nemnegatív szám [1] M , hogy

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

akkor a T operátort korlátosnak , a legkisebb lehetséges M -et pedig ‖ T ‖ normájának nevezzük . Ha V 1 véges dimenziós , akkor minden operátor korlátos.

A T operátor normája a [2] képlettel számítható ki :

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{igazított}}

Ha a V 1 tér egy nullából áll , akkor nem a megadott képlet működik, hanem ‖ T ‖ = 0 , mert T = 0 .

A V 1 -től V 2 -ig terjedő korlátos operátorok lineáris terét jelöli . Abban az esetben, ha a helyett írnak . Ha Hilbert szóköz , akkor néha helyette írnak . $L(V_{1},V_{2})$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ $L(V,V)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$

Tulajdonságok

Korlátozás és folytonosság

A normált terek közötti lineáris operátor korlátos akkor és csak akkor , ha folyamatos .

Norma

Egy vektortér szerkezetét bevezethetjük a és műveletekkel , ahol , , és tetszőleges skalár. Az operátornorma a korlátos operátorok lineáris terét normált térré teszi, azaz kielégíti a megfelelő axiómákat: $L(V_{1},V_{2})$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,S\in L(V_{1},V_{2})$ $x\in V_{1}$ $\alpha \in K$

$\|T\|\geqslant 0$ (definíció szerint)
$\|T\|=0$ akkor és csak akkor (a normált tér definíciójából következik) $T=0$
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ az összes számára $\alpha$ $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ minden korlátos operátorra és V 1 - től V 2 -ig . $S$ $T$

Szubmultiplicativitás

Ha S egy operátor V 2 és V 3 között , és T egy operátor V 1 és V 2 között, akkor S T szorzatukat S ∘ T függvények összetételeként definiáljuk . Az operátori norma kielégíti a szubmultiplicativitási tulajdonságot :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

V 1 = V 2 = V esetben a korlátos operátorok a tér elhagyása nélkül szorozhatók , ezért az operátornorma az operátoralgebrát normált algebrává alakítja . $L(V)$ $L(V)$

Teljesség

Egy szóköz akkor és csak akkor Banach , ha V 1 nulldimenziós [3] vagy V 2 Banach. $L(V_{1},V_{2})$

Ha V egy Banach-tér, akkor a fent bemutatott szorzással egy Banach-algebra . $L(V)$

Használati példák

Véges dimenziós terek között

Az operátori normák (a vektorok különböző normáihoz) a lehetséges normák fontos osztályát alkotják a mátrixtereken .

Hilbert tereken

A korlátos operátorok algebrája ( H Hilbert téren ) operátornormával egy C*-algebra , melynek involúciós művelete a Hermitiánus konjugációt adja meg . Ugyanakkor a kompakt operátorok algebrája a zárt *-algebra, sőt az ideális . $L(H)$

Összehasonlítások

Operátori norma más normákkal

Más, erősebb normák is meghatározásra kerülnek a Hilbert-tér operátoraira, például a Hilbert-Schmidt norma . A végtelen dimenziós esetben az ilyen normák nincsenek definiálva (végtelen) néhány korlátos operátoron.

Norm topológiák másokkal

Véges dimenziós esetben (amikor mind a V 1 , mind a V 2 tér véges dimenziós), ez is véges dimenziós, és egy ilyen lineáris téren minden topológia (és norma) egyenértékű. Ha azonban mind a V 1 , mind a V 2 tér végtelen dimenziójú, akkor gyengébb (durvább) topológiák is lehetségesek : $L(V_{1},V_{2})$ $L(V_{1},V_{2})$

Erős operátor topológia ; a név félrevezető, mivel gyengébb (durvább), mint a normál topológia.
Gyenge operátor topológia ; még gyengébb (durvább).

Irodalom

Murphy J. C*-algebrák és operátorelmélet. M.: Factorial, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .

Jegyzetek

↑ Általános esetben a rendezett mező olyan eleme , amelyben a K -n végzett normalizálás értéket vesz fel .
↑ A lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 210.
↑ Ebben az esetben , de kész. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$