Szomszédság

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Egy pont környéke egy halmaz, amely tartalmazza az adott pontot és közel van hozzá (bizonyos értelemben). A matematika különböző ágaiban ezt a fogalmat különböző módon határozzák meg.

Definíciók

Matematikai elemzés

Legyen tetszőleges fix szám. $\varepsilon >0$

A valós egyenes egy pontjának szomszédsága (néha szomszédságnak is nevezik) azon pontok halmaza, amelyek kisebbek, mint , azaz . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepszilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepszilon\}$

Többdimenziós esetben a szomszédsági funkciót egy nyitott golyó végzi, amelynek középpontja a pontban van . $\varepsilon$ $x_{0}$

A Banach-térben egy pontban középpontba helyezett szomszédságot halmaznak nevezzük . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepszilon\}$

A metrikus térben egy pont középpontjában álló környéket halmaznak nevezzük . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepszilon\}$

Általános topológia

Legyen adott egy topológiai tér , ahol egy tetszőleges halmaz és egy topológia , amely a -n definiált . $(X,{\mathcal {T}})$ $x$ $\mathcal{T}$ $x$

Egy halmazt akkor nevezünk egy pont környékének, ha létezik olyan nyitott halmaz , amelyre . $V\X részhalmaz$ $x\X-ben$ $U\in \mathcal{T}$ $x \in U \V részhalmaz$
Hasonlóképpen, egy halmaz szomszédsága olyan halmaz , amelyben létezik egy nyitott halmaz , amelyhez . $M\X részhalmaz$ $V\X részhalmaz$ $U\in \mathcal{T}$ $M \U részhalmaz \V. részhalmaz$

Jegyzetek

A fenti definíciók nem követelik meg, hogy egy szomszédság nyílt halmaz legyen, hanem csak azt, hogy tartalmazzon nyílt halmazt . Egyes szerzők ragaszkodnak ahhoz, hogy minden környék nyitott. [1] Ekkor egy halmaz környezete bármely nyílt halmaz, amely azt tartalmazza. Ez nem alapvető különbség a további topológiai elmélet fejlődése szempontjából. Azonban minden esetben fontos a terminológia rögzítése. $V$ $U$
Egy ponthalmaz környezete olyan halmaz , amelyben bármely pontnak van szomszédsága . $M$ $V$ $V$ $x\-ben M$

Példa

Adjunk meg egy valós egyenest standard topológiával . Ezután egy nyitott környék, és egy zárt környéke a pontnak . $(-1,2)$ $[-1,2]$ $0$

Változatok és általánosítások

Pierced Neighborhood

Egy pont szúrt környéke egy olyan pont környéke, amelyből ez a pont ki van zárva.

Szigorúan véve a kilyukadt környék nem egy pont szomszédsága, mert a szomszédság definíciója szerint a környéknek magában kell foglalnia a pontot is.

Formális definíció: Egy halmazt egy pont átszúrt szomszédságának (puncturált környékének) nevezzük , ha $\pont{V}$ $x\X-ben$

\pont{V} = V \setminus \{x\},

hol van a környék . $V$ $x$

Lásd még

Az általános topológia szószedete

Jegyzetek

↑ Rudin, 1975 , p. 13.

Irodalom

Matematikai Enciklopédia. - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Funkcionális elemzés. - M .: Mir , 1975 .