Kölcsönös szám

Adott x szám reciproka az a szám , amelynek x -szel való szorzása egyet ad . Elfogadott bejegyzés: vagy . Két olyan számot, amelyek szorzata 1, reciproknak nevezzük . Egy szám reciprokát nem szabad összetéveszteni egy függvény reciprokával. Például eltér az inverz függvény értékétől a koszinusz - arccosine , amelyet vagy jelöl . ${\frac {1}x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac {1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\arccos x$

Inverz a valós számhoz

Bármely valós (vagy komplex ) számhoz, amely nem nulla , van egy szám, amely az inverze. Valós szám reciprokja megadható törtként vagy hatványként -1 kitevővel . De általában a törten keresztüli jelölést használják.

Szám	Fordított
Szám	Töredék	Fokozat
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

Azaz . $\ {\frac {1}{n}}=n^{{-1}}$

Példák
Szám	$3$	${\frac {1}{10))$	$-{\frac {2}{7))$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$egy$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac {\pi }{4)))$	$10^{{23}}$
Fordított	${\frac {1}{3))$	$tíz$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi ))$	$0.5$	$-nyolc$	$egy$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac {\pi }{4)))$	$10^{{-23}}$

Ne keverje össze a "reciprok szám" és az " ellentétes szám " kifejezéseket. Két számot ellentétesnek mondunk, ha összegük nulla. Például a 3-mal ellentétes szám –3, a reciprok pedig 1/3.

Inverz nullához

A valós (vagy összetett) számokkal operáló aritmetikában nincs végtelen fogalma (nincs szám "végtelen"). Ezért úgy tekintjük, hogy lehetetlen nullával osztani . Tehát a nullának nincs reciprokja. De a határátmenet bevezetése óta (a matematikai elemzésben ) olyan fogalmak jelentek meg, mint a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy mennyiségek, amelyek kölcsönösen inverzek.

A határig való áthaladást felhasználva a következőket kapjuk:

Jobb oldali határ: _ vagy _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Bal oldali korlát: _ vagy _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Így a nulla reciproka attól függően, hogy melyik oldalra kell törekedni, formálisan végtelen a "+" vagy a "-" jellel . A nullához való inverz ilyen meghatározása azonban értelmetlen - a bevezetés elveszti az eloszlást, ami különösen akkor nyilvánul meg, ha az inverz négyzethatár is „egyenlő” a végtelennel, de ha az előző határértéket elosztjuk ezzel a válasz 0, nem 1.

$\lim _{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

De $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{{ x\to +0}}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Inverz a komplex számhoz

A komplex számok inverzei valamivel bonyolultabbnak tűnnek, mint a valós számok inverzei. A komplex számoknak három formája van: algebrai , trigonometrikus és exponenciális .

Összetett számformák	Szám $(z)$	Fordítva [1] $\left({\frac {1}{z}}\jobb)$
Algebrai	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonometrikus	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Demonstráció	$re^{{i\varphi }}$	${\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Kijelölés és igazolás

Kijelölés

$z\in {\mathbb {C}}$ (komplex szám), (komplex szám valós része), (komplex szám képzeletbeli része), - képzeletbeli egység , (komplex szám modulusa), (komplex szám argumentuma), - természetes logaritmus alapja .
$x=\operátornév {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operátornév {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$én$
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\operátornév {arg} z=\operátornév {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Bizonyítás:
Az algebrai és trigonometrikus alakoknál a tört alapvető tulajdonságát használjuk , megszorozva a számlálót és a nevezőt a komplex konjugátummal :

Algebrai forma:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)))={\frac { x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^ {2}+y^{2}}}$

Trigonometrikus forma:

${\frac {1}{z))={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i \sin \varphi )$

Tájékoztató forma:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi }}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Így egy komplex szám inverzének megtalálásakor kényelmesebb az exponenciális alakját használni.

Példa:

Összetett számformák	Szám $(z)$	Fordítva [1] $\left({\frac {1}{z}}\jobb)$
Algebrai	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonometrikus	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ vagy [2] $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\jobb)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\jobbra)$ vagy [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\jobbra)$
Demonstráció	$2e^{{i{\frac {\pi }{3))))$	${\frac {1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi }{3))))$

Inverz a képzeletbeli egységhez

Csak két szám van ( komplex konjugált ), amelyeknek reciprokjai és ellentétei egyenlők. Ez van . $\pm i$

Szám	Inverz és ellentét egyenlősége
Szám	Az inverz átírása törten keresztül	Fordított írása a fokozaton keresztül
$én$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
$-én$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Bizonyíték

Mutassuk meg a ( hasonló) bizonyítását. A tört fő tulajdonságát használjuk : Így kapunk __ vagy __ Hasonlóképpen : __ __ vagy __ $én$ $-én$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{ -1}}=-i$

${\frac {1}{i}}=-i$ $i^{{-1}}=-i$

$-én$ $-{\frac {1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Jegyzetek