Noetherian modul

A Noether-modul olyan modul , amelyben a növekvő láncok megszakításának feltétele teljesül a befogadással rendezett almoduljainál .

Történelmileg Hilbert volt az első matematikus, aki feltárta a véges generált részmodulok tulajdonságait. Különösen igazolta Hilbert alaptételét , amely szerint a polinomiális gyűrűben több változóban lévő bármely ideál végesen generálódik (ez a tulajdonság egyenértékű a Noether-féleséggel). A Noether-i ingatlant azonban Emmy Noetherről nevezték el , aki elsőként ismerte fel jelentőségének mértékét.

Egyenértékű definíciók és tulajdonságok

A Noether-modulnak több egyenértékű definíciója is létezik:

Az alakzat részmoduljainak bármely sorozata stabilizálódik, azaz néhányból kiindulva $M_{1}\subsetneq M_{2}\subsetneq M_{3}\subsetneq \ldots \qquad (1)$ $n,\;M_{n}=M_{{n+1}}=\lpont .$
Az M részmodulok bármely nem üres halmazának van egy maximális eleme . Ez a feltétel megegyezik az elsővel bármely részben rendezett halmaz esetén (a bizonyítás a választás axiómáját használja ).
Az M modul minden egyes almodulja végesen generált .

Az utolsó definíció különösen hasznos, és az eredeti definícióval való egyenértékűségének bizonyítása elemi:

Ha egy modul kielégíti az utolsó definícióból származó tulajdonságot, akkor az első definícióból származó tulajdonságot is kielégíti. Valójában, ha bármely részmodul végesre van generálva, akkor a modult, amely az (1) lánc összes almoduljának uniója, azt kapjuk, hogy azt mondjuk elemek generálják . Ekkor van a láncnak valamilyen eleme, amely tartalmazza ezeket az x i -eket , és ezért egyenlő az összes M i unióval . Innen $x_{1},x_{2},\lpontok x_{n}$ $M_{k}$ $M_{k}=M_{{k+1}}=M_{{k+2}}=\lpont$
Ezzel szemben, ha egy A gyűrűn M kielégíti az első definícióból származó tulajdonságot (a második definícióból), és N az almodulja, akkor az N modul véges generált részmoduljainak halmazában van egy maximális részmodul . Ha ekkor egy elemet veszve és egy modult megszerkesztve (vagy nem kommutatív esetben a megfelelő modulnál) egy nagyobb, véges generált modult készítünk a feltételezéssel szemben. Ezért N végesen generálódik. $N'\N részhalmaz$ $N'\neq N,$ $x\in N/N'$ $N+Ax$ $N+xA$

Legyen valamilyen modul és annak almodulja. akkor és csak akkor Noether, és akkor Noether . $M$ $N$ $M$ $N$ $M/N$

Példák

Az egész számok , amelyeket modulusként tekintenek az egész számok gyűrűjén, egy Noether-modulus.
Legyen egy teljes mátrixgyűrű egy tetszőleges mező felett, és legyen oszlopvektorok halmaza ezen a mezőn, akkor tehetjük modullá, ha megadjuk egy modulelem szorzatát a gyűrű elemével, mint egy oszlop szorzatát egy mátrix. Ezután egy Noether-modul. $R=M_{n}(K)$ $K$ $M$ $M$ $R,$ $M$
Minden modul, amely véges halmaz, noetheri.
Minden véges generált jobb modul egy jobb Noether-gyűrűn (lásd lent a definíciót).

Kapcsolatok más struktúrákkal

Az egységgel rendelkező asszociatív gyűrűt Noether -nek nevezzük , ha az önmaga feletti Noether-modul, azaz kielégíti a növekvő láncok megszakításának feltételét az ideálok számára . Nem kommutatív esetben bal Noether és jobb Noether gyűrűt különböztetünk meg, de ha a gyűrű bal Noether és jobb Noether, akkor egyszerűen Noether-nek nevezzük.

A Noether-feltétel bimodulokhoz is definiálható : egy bimodult Noether-nek nevezünk, ha teljesíti a részmoduljaira vonatkozó növekvő láncvégi feltételt. Előfordulhat, hogy egy bimodul noetheri, míg a rajta lévő bal és jobb oldali modulok szerkezete nem noetheri.

Lásd még

Artin modul

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. — M.: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Kommutatív algebra. — M.: IL, 1963
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968