Következetesség
A konzisztencia egy formális rendszer olyan tulajdonsága , amely abból áll, hogy nem származtatja le belőle az ellentmondást . Ha a rendszer valamely mondatának tagadása elméletben igazolható, akkor benne magát a mondatot cáfolhatónak mondjuk. Egy rendszer következetessége azt jelenti, hogy egyetlen állítás sem bizonyítható és egyben cáfolható benne. A következetesség követelménye a tudományos és különösen a logikai elmélet kötelező követelménye. Az ellentmondásos rendszer nyilvánvalóan tökéletlen: az igaz rendelkezések mellett hamisakat is tartalmaz; egyszerre bizonyít és cáfol valamit. Sok rendszerben érvényesül Duns Scotus törvénye . Ilyen feltételek mellett az ellentmondás bizonyíthatósága azt jelenti, ami bizonyíthatóvá válik.
Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező formális rendszereket konzisztensnek vagy formálisan konzisztensnek nevezzük . Ellenkező esetben a formális rendszert inkonzisztensnek vagy inkonzisztensnek nevezik .
A formális rendszerek széles osztályára, amelyek nyelve tagadójelet tartalmaz, ekvivalens a tulajdonsággal : "nincs olyan képlet , amely mindkettőt bizonyíthatná". Egy adott formális rendszer képleteinek egy osztályát konzisztensnek mondjuk, ha ebből az osztályból nem vezethető le ennek a rendszernek minden formulája.
Egy formális rendszert tartalomkonzisztensnek nevezünk, ha van olyan modell , amelyben ennek a rendszernek minden tétele igaz. Ha egy formális rendszer értelemszerűen konzisztens, akkor formálisan konzisztens.
A klasszikus predikátumszámításon alapuló formális rendszerekre ennek a fordítottja is igaz: a klasszikus predikátumszámítás teljességére vonatkozó Gödel-tétel alapján minden ilyen konzisztens rendszernek van modellje. Így a formális rendszer konzisztenciájának bizonyításának egyik módja egy modell felépítése.
Egy másik, úgynevezett metamatematikai módszer a konzisztencia bizonyítására, amelyet a 20. század elején javasoltak. Hilbert szerint egy bizonyos formális rendszer konzisztenciájára vonatkozó állítást az ebben a rendszerben lehetséges bizonyításokra vonatkozó állításnak tekintjük. Az olyan elméletet, amelynek tárgyai tetszőleges matematikai bizonyítások, bizonyítási elméletnek vagy metamatematikának nevezzük. A metamatematikai módszer alkalmazására példa Gentzen bizonyítása egy formális aritmetikai rendszer konzisztenciájára.
A konzisztencia bármely bizonyítása egyik vagy másik matematikai elmélet eszközeit használja, és ezért csak az egyik elmélet konzisztenciájának kérdését redukálja egy másik elmélet konzisztenciájának kérdésére. Azt is mondják, hogy az első elmélet összhangban van a második elmélettel. Nagy jelentősége van Gödel második tételének , amely kimondja, hogy egy aritmetikát tartalmazó formális elmélet konzisztenciája nem igazolható magával a kérdéses elmélettel (feltéve, hogy az elmélet valóban konzisztens).
A logikai következetlenség jelenléte aláássa az érvelés alapját, a bizonyítékokat. elmélet, mivel a logikai következetlenség a helytelen érvelés és tanítás Achilles-sarka . Egy elmélet vagy koncepció logikai következetlenségének megállapítása megsemmisíti az elméletet vagy koncepciót anélkül, hogy további érvek szólnának a kudarc mellett [1] .
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Kondakov N. I. Logikai szótár. - M . : Nauka , 1975. - S. 385.
Irodalom
- Stoll R.R. Készletek. Logikák. axiomatikus elméletek. - M . : Nevelés , 1968. - 231 p.