Monoton operátor

A monoton operátor olyan operátor, amely kielégíti a monotonitás feltételét. A monoton operátor fogalma a monoton függvény fogalmának általánosítása . Széles körben használják a funkcionális elemzésben a parciális differenciálegyenletek határérték-problémák tanulmányozásában és közelítő megoldásában.

Definíció

Legyen lineáris topológiai tér és tetszőleges elemei . Jelölje az elemek skaláris szorzatát, a térben a norma . Az operátort úgy hívják: $x$ $u,v$ $u,v\in X$ $\langle u,v\rangle$ $u,v$ $\|.\|$ $x$ $A\in (X\-X*)$

monoton ha ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant 0$
szigorúan monoton ha for ; $\langle Au-Av,uv\rangle >0$ $u\neq v$
d - monoton , ha valamilyen szigorúan növekvő függvényre be ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ $\alpha$ $\left[0,\infty \right)$
egyenletesen monoton , ha valamilyen szigorúan növekvő függvényre c- n ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant \rho (\|uv\|)$ $\rho$ $\left[0,\infty \right)$ $\rho (0)=0$
erősen monoton (m állandó monotonitás mellett) ha , . ${\displaystyle \langle Au-Av,uv\rangle \geqslant m\|uv\|^{2))$ $m>0$
sugárirányban folytonos , ha bármely rögzített valós függvény esetén folytonos a . $u,v\in X$ $s\to \langle A(u+sv),v\rangle$ $\left[0,1\right]$
kényszerítő , ha létezik valós értékű függvény -val , úgy, hogy $\left[0,\infty \right)$ $\gamma$ $\lim _{s\to \infty }=+\infty$ $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$

A monoton operátorok elméletének alaptétele

Legyen radiálisan folytonos monoton kényszerítő operátor. Ekkor az egyenlet megoldásainak halmaza bármelyikre nem üres, gyengén zárt és konvex [1] . $A\in (X\-X*)$ $Au=f$ $f\in X*$

Jegyzetek

↑ Gaevsky, 1978 , p. 95.

Irodalom

Gaevsky H., Gröger K., Zacharias K. Nemlineáris operátoregyenletek és operátordifferenciálegyenletek. — M .: Mir, 1978. — 336 p.
Vainberg MM A variációs módszer és a monton operátorok módszere a nemlineáris egyenletek elméletében. — M .: Nauka, 1972. — 416 p.