Monogén funkció

Egy függvényt monogénnek (vagy a komplex elemzés értelmében differenciálhatónak ) mondunk egy ponton , ha a határérték $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

létezik, és ugyanaz egy pont tetszőleges útvonalon történő megközelítésére. Ebben a kulcsszerepet az úgynevezett Cauchy-Riemann feltétel játssza . Azt a függvényt, amely egy pont szomszédságában monogén, holomorfnak nevezzük abban a pontban. Azt a függvényt, amely valamely nyitott tartomány minden pontján monogén, holomorfnak mondjuk abban a tartományban. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

Egy függvényt poligénnek nevezünk , ha egy ilyen határérték függ az útvonaltól, és végtelen sok értéke van. Kimutatható, hogy egy komplex értékű függvény lehet monogén vagy poligén, és ennek a határértéknek véges számú különböző értékének megléte kizárt.

Példa. A függvény nullán monogén: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

és a függvény poligén: $f(z)=\overline z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },

vagy

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operátornév {sgn} ^{-2}z,

ahol φ a z − 0 szám argumentuma , sgn pedig a komplex előjelfüggvénye , amely olyan értéket vesz fel, amelynek modulusa mindig egység.

Lásd még

Irodalom

Bitsadze A.V. Egy komplex változó analitikus függvényeinek elméletének alapjai - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Bevezetés a komplex elemzésbe - M., Nauka, 1969.