Többértékű analitikai függvény

A többértékű analitikus függvény egy többértékű komplex függvény, amelyet az összes útvonal mentén végzett analitikus folytatással kapunk.

Az analitikus elem egy pár , ahol ( több változó függvényei esetén) egy tartomány a -ben , és egy egyértékű analitikus függvény ebben a tartományban. ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ $F\subset {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subset \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $f$

Két analitikus elemet nevezünk egymás közvetlen analitikus folytatásának a tartományon keresztül, ha a metszéspont nem üres, és a függvény metszéspontjának egyik összefüggő komponensén egyenlők. ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ ${\megjelenítési stílus (G,g)}$ $\Delta$ $F\cap G$ $\Delta \subset F\cap G$ $f$ $g$

Az analitikus elemet egy elem analitikus folytatásának nevezzük egy tartományláncon keresztül, ha van olyan elemlánc, hogy minden elem az elem közvetlen analitikus folytatása egy tartományon keresztül . $(F_{n},f_{n})$ $(F_{0},f_{0})$ ${\displaystyle \Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n))$ $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n-1},f_{n-1})$ $(F_{i},f_{i})$ $(F_{i-1},f_{i-1})$ $\Delta _{i}$

Az elemző folytatás fogalma alapján ekvivalencia reláció definiálható az elemek között. Egy elemmel egyenértékű elemet fogunk tekinteni, ha a elem analitikus folytatása . Könnyű bizonyítani, hogy ez az összefüggés ekvivalenciareláció. Ennek az ekvivalenciarelációnak megfelelően az összes elemző elem halmaza ekvivalenciaosztályokra osztható. Ugyanezeket az ekvivalenciaosztályokat teljes analitikai függvényeknek nevezzük. Írjunk egy szigorú definíciót. ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ ${\megjelenítési stílus (G,g)}$ ${\megjelenítési stílus (G,g)}$ ${\megjelenítési stílus (F,f)}$

Egy összetett változó teljes analitikai függvénye az analitikai elemek nem üres halmaza, így a halmaz bármely elemző elemének az összes többi eleme annak analitikus folytatása, és minden elem, amely analitikus folytatás , beletartozik ebbe a halmazba. ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ ${\megjelenítési stílus (F,f)}$

Az analitika bizonyos területeken meghatározható. Az elemző függvény $A$ egy tartományban olyan elemző elemek halmaza , amelyek: $(F_{\alpha },f_{\alpha })$

Összes $F_{\alpha }\subset A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
Bármely elem esetében bármely más elem analitikus folytatása egy régiók láncolatán keresztül ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ ${\megjelenítési stílus (G,g)}$ ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ $A$
Bármely elemhez minden más elem , amely egy analitikus folytatása egy régiók láncán keresztül , benne van a halmazban. ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ ${\megjelenítési stílus (G,g)}$ ${\megjelenítési stílus (F,f)}$ $A$

Az ebben a halmazban szereplő elemet analitikus függvény elemének nevezzük. Ezt a definíciót egy többértékű függvénnyel azonosítjuk a következő értelemben. Egy elemző függvény értéke egy pontban azon elemek összes függvényének értéke, amelyeknél a pont benne van a megfelelő halmazban. $a$ $a$