Entropikus modellezési módszer

A számítástechnika fejlődésével a Monte Carlo szimuláció egyre népszerűbb a különböző statisztikai rendszerek tanulmányozásában, ideértve: neurális hálózatok, biológia és kémia problémák, optimalizálási problémák különböző területeken, valamint a statisztikai fizika a fázisok tanulmányozásában. átmenetek és kritikus jelenségek.

A Monte Carlo-módszer szinte minden változata az alapvető mintavételi módszer ötletén alapul, melynek szerzője N. Metropolis és munkatársai [1]

Az entrópiás modellezési módszer megvalósításának egyik példája a Wang-Landau algoritmus

Monte Carlo módszer a klasszikus statisztikai mechanikában

A klasszikus rendszerek egyensúlyi statisztikai termodinamikájának problémái a statisztikai integrál számítására redukálhatók. Például a kanonikus együttesben :

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!(2\pi \hbar )^{3N))}\int \exp\{-\beta E(p,q)\ }dpdq,\qquad {\mbox{ahol }}\beta ={\frac {1}{kT)),$

$N$ - a részecskék száma a térfogatban egy hőmérsékleten , ; - a részecskék teljes mechanikai energiája; - nyomatékuk és koordinátáik halmaza, és . A klasszikus energia mindig ábrázolható a kinetikus és a potenciális energiák összegeként. A mozgási energia a momentum négyzetes függvénye, és a felettük való integráció általános módon történhet. Ennek eredményeként a következőket kapjuk: $V$ $T$ $\beta =1/kT$ $E(p,q)$ $p,q$ ${\displaystyle dp=d^{3}p_{1}\ldots d^{3}p_{N}\,dq=d^{3}q_{1}\ldots d^{3}q_{N))$ $E(p,q)$ $K(p)$ $U(q)$

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!\Lambda ^{3N))}\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

ahol a tömegű de Broglie-részecskék termikus hullámhossza hőmérsékleten . Így a probléma a konfigurációs integrál kiszámítására redukálódik ${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mkT))))$ $m$ $T$

$Q(N,V,T)=\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

A koordinátákon keresztüli integrációtól kezdve eljuthatunk az energia feletti integrációig:

$Q(\beta )=\int \Omega (E)\exp(-\beta E)dE$

$\Omega (E)=\int \delta (U(q)-E)dq$

ahol a konfigurációs tér azon részének térfogata, amelyben a rendszer energiája a -tól ig terjedő tartományba esik , a delta függvény. $\Omega (E)$ $E$ $E+dE$ $\delta$

Számításokat a fenti képletekkel fogunk végezni numerikus módszerekkel. Ezért az integrálokról az integrálösszegekre térünk át. A rendszer energiatartománya véges számú egyenlő szegmensre van felosztva . Az értékek meg vannak határozva . Ennek eredményeként bármely érték kanonikus átlagai a következő képlettel számíthatók ki: ${\displaystyle E_{min}\leq E\leq E_{max))$ $(N_{b})$ ${\displaystyle \Omega (E_{i}),i=1,2,...,N_{b))$ $f$

$<f>(\beta )={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N_{b))f_{i}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{ i})}{\sum \limits _{i=1}^{N_{b}}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{i}})}}$ ,

ahol a th energiaszegmens mennyiségének értéke . Mivel a képlet számlálójába és nevezőjébe is lineárisan lép be , nem csak térfogatként, hanem az energiának megfelelő konfigurációs tér töredékeként is felfogható . Minden állapotban (konfigurációban) a rendszernek van egy bizonyos energiája. Azok. a rendszer minden állapota (konfigurációja) az energiatérben (ez a tér egydimenziós) az energiaskála (tengely) egy pontjához rendelhető. A rendszer konfigurációjában bekövetkező véletlenszerű változások sorrendje megfelel az energiatér egy pontjának véletlenszerű sétájának. A véletlenszerű séták folyamatát Monte Carlo módszerrel modellezve és értékeinek ismeretében, illetve kiszámításával megtalálhatjuk a fizikai mennyiségek átlagértékeit. $f_{i}$ $f$ $én$ $\Omega (E)$ $<f>$ $\Omega (E)$ $E$ ${\displaystyle \Omega _{i))$

Entropikus modellező algoritmus

Az entrópikus modellezési algoritmus a következő körülményen alapul. Az állapotok reciproka sűrűségével arányos átmeneti valószínűségekkel véletlenszerű sétát végezve az energiatérben , egyenletes energiaeloszlást kapunk. Más szóval, ha az átmenet valószínűségét úgy választjuk meg, hogy az összes energiaállapot meglátogatása egységessé váljon, egy kezdetben ismeretlen állapotsűrűséget kaphatunk . $1/\Omega (E)$ $\Omega (E)$

Írjuk be a konfigurációs integrált a kanonikus együttesbe a következő formában:

$Q(\beta )=\int e^{-\beta E(q)}dq=\int \Omega (E)e^{-\beta E}dE=\int e^{S(E) -\beta E}dE$

hol van az entrópia adott értéknél (néha kimarad, mert a szimulációban nem szükséges ezt az állandót figyelembe venni). $S(E)=k\ln \Omega (E)$ $E$ $k$

A konfigurációs térben való bolyongással a részletes egyensúlyi relációt kielégítő átmeneti valószínűségekkel

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (E(q_{2) })-E(q_{1})))}$ ,

kap egy kanonikus mintát az állapotokról (vagy ). Az energiaállapotok tetszőleges mintája , ahol egy tetszőleges függvény , megfelel a feltételnek ${\displaystyle P(q)\sim e^{-\beta E(q)))$ ${\displaystyle P(E)\sim e^{S(E)-\beta E))$ ${\displaystyle P(E)\sim e^{A(E)}=e^{S(E)-J(E)))$ $A(E)$ $J(E)=S(E)-A(E)$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (J(E(q_) {2}))-J(E(q_{1})))}$ .

Amikor a vándorlás során a statisztikai szóráson belül egységes energiaállapot-mintát kell kapni, . Ebben az esetben az entrópia definíciója azt jelenti $J(E)=S(E)$ $P(E)\sim const$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1))}={\frac {\Omega (E(q_{1 }) ))}{\Omega (E(q_{2))))$

Így, ha az átmeneti valószínűségek bizonyos megválasztásával egyenletes látogatásokat kapunk az energiaállapotokban, akkor kiszámíthatjuk az állapotok sűrűségét , és ebből következően a konfigurációs integrált . $\Omega (E)$ $Q(\beta )$

Jegyzetek

↑ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller és E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).