Schwartz Lemma

A Schwartz-lemma a körből önmagába történő harmonikus leképezések komplex elemzésének klasszikus eredménye .

Megfogalmazás

Legyen az egységkör az összetett síkon . Továbbá legyen a függvény analitikus, és teljesítse két feltételt: $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\mathbb {C}$ $f$ $\Delta$

$f(0)=0$ ;
$f(\Delta )\subset {\overline {\Delta ))$ , vagy ezzel egyenértékűen . $|f(z)|\leqslant 1$

Akkor:

$|f(z)|\leqslant |z|$ in ; $\Delta$
$|f'(0)|\leqslant 1$ .

Ráadásul mindkét egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a függvény alakja , azaz forgássá redukálódik. A bizonyítás gondolata az, hogy a függvény analitikus lesz, és a harmonikus függvények maximális elvét alkalmazza rá. $f(z)=e^{{i\varphi }}z$ $f(z)/z$ $|z|<1$

Változatok és általánosítások

A lineáris-tört leképezés eredeti körére alkalmazott Schwartz-lemma automatikusan egy általánosabb kijelentéshez vezet - a Schwartz-Peak tételhez .

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . - S. 192. - 577 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.