Gauss lemma a geodetikusról

Gauss geodéziai lemmája kimondja, hogy a Riemann-sokaságon egy pontban középpontban lévő kellően kicsi gömb merőleges minden ponton átmenő geodetikusra .

A lemma annak bizonyítására szolgál , hogy a geodézia lokálisan legrövidebb görbék , és alapvető fontosságú a geodéziai konvexitás és a normál koordináták vizsgálatában .

Megfogalmazás

Jelölje az érintőteret a Riemann-sokaság egy pontjában, és legyen az exponenciális térkép . Megjegyzendő , hogy bármely vektor esetében az érintőtér érintőtere azonosítható magával az érintőtérrel . $T_{p}$ $p$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

Bármilyen $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

ahol az exponenciális leképezés differenciálját jelöli . ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))$

Linkek

A Gauss-lemma származtatása Hamiltoni mechanika segítségével a YouTube -on