Drucker-Prager erősségi kritérium

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. szeptember 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Drucker-Prager szilárdsági kritérium egy terheléstől függő modell, amely meghatározza egyes anyagok viselkedését vagy tönkremenetelét plasztikus deformáció hatására. Ezt a kritériumot az agyagos talajok képlékeny alakváltozásának leírására fejlesztették ki, és használható sziklás talajok, beton, polimerek, habok és más nyomásfüggő anyagok tönkremenetelének leírására is.

Daniel Druckerről és Pragerről nevezték el , akik 1952 -ben fejlesztették ki ezt a modellt [1] .

Megfogalmazás

A kritériumot a következő képlet írja le:

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

ahol a feszültségtenzor első invariánsa , és a feszültségtenzor deviátorának [2] második invariánsa . Az állandókat kísérleti úton határozzuk meg. $I_1$ $J_{2}$ ${\megjelenítési stílus A,B}$

Az ekvivalens feszültségek (vagy von Mises feszültségek ) és hidrosztatikus feszültségek tekintetében a Drucker-Prager kritérium a következőképpen írható fel:

{\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m))

ahol az egyenértékű feszültség, a hidrosztatikus feszültség és az anyagállandók. A Drucker-Prager kritérium Haig-Westergaard koordinátákban kifejezve a következőképpen: $\sigma _{e}$ ${\displaystyle \sigma _{m))$ $a,b$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

A Drucker-Prager hozamfelület a Mohr-Coulomb hozamfelület simított változata .

A és B kifejezései

A Drucker-Prager modell a főfeszültségek alapján írható fel:

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\jobbra]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.

Ha az egytengelyű szakítószilárdság, a Drucker-Prager kritérium a következőket jelenti: $\sigma _{t}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Ha a végső szilárdság egytengelyű összenyomásban, a Drucker-Prager kritérium a következőket jelenti: $\sigma _{c}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.

Ezt a 2 egyenletet megoldva azt kapjuk

A={\cfrac {2}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t)){\sigma _{c}+\ sigma _{t))}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\jobbra)~.

Egytengelyű aszimmetrikus együttható

A Drucker-Prager modell segítségével különféle egytengelyű szakító- és nyomószilárdsági kritériumokat jósoltak meg. Egytengelyű aszimmetrikus együttható a Drucker-Prager modellhez:

\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B }{1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Kifejezés súrlódási és kohéziós szögben

Mivel a Drucker-Prager hozamfelület a Mohr-Coulomb hozamfelület simított változata, gyakran a kohézió ( ) és a belső súrlódási szög ( ) kifejezésekkel fejezik ki, amelyeket a Mohr-Coulomb elmélet használ . Ha feltételezzük, hogy a Drucker-Prager hozamfelület a Mohr-Coulomb hozamfelület közelében van leírva , akkor a és kifejezések a következők: $c$ $\phi$ $A$ $B$

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3+\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )))

Ha a Drucker-Prager hozamfelületet a Mohr-Coulomb hozamfelületbe írjuk, akkor

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3-\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )))

A Drucker-Prager modell polimerekhez

A Drucker-Prager modellt olyan polimerek modellezésére használják, mint a poliformaldehid és a polipropilén .[3] . A poliformaldehid esetében a szilárdsági kritérium a terhelés lineáris függvénye. A polipropilén esetében azonban másodfokú függés van a terheléstől.

A Drucker-Prager modell habokhoz

A tollhoz a GAZT modell [4] a következőket használja:

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\ balra({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s))}\jobbra)

ahol a kritikus feszültség a húzás vagy összenyomás meghibásodásához, a hab sűrűsége és az alapanyag sűrűsége (amelyből a hab származik). $\sigma _{y}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{s))$

Kifejezések az izotróp Drucker-Prager modellhez

A Drucker-Prager kritérium egy alternatív összetételben is használható:

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Deshpande-Fleck szilárdsági kritérium

A habokra vonatkozó Deshpande-Fleck szilárdsági kritérium [5] a fenti egyenlet alakja. A Deshpand-Vleck teszt paraméterei $ABC$

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2} }{3}}

ahol egy paraméter [6] , amely meghatározza a folyási felület alakját, és a végső szakító- vagy nyomószilárdság. $\beta$ $\sigma_y$

Drucker-Prager anizotróp szilárdsági kritérium

A Drucker-Prager szilárdsági kritérium anizotróp formája egybeesik a Liu-Huang-Stout szilárdsági kritériummal [7] . Ezt a szilárdsági kritériumot a Hill-féle általánosított hozamkritérium fejezi ki :

{\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _ {11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^ {2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\ vége{igazított}}

Az együtthatók a következők: ${\megjelenítési stílus F,G,H,L,M,N,I,J,K}$

{\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _ {1}^{2}\jobbra]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2} -\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2} ^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~ ;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{ 12}^{y})^{2))}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t)){2\sigma _{1c}\sigma _{1t} }}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\ cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}

ahol

\Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\ Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3 }:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}

és az egytengelyű nyomószilárdság három fő irányában: anizotrópia, egytengelyű szakítószilárdság és tiszta nyírószilárdság. A fentiekben azt feltételeztük, hogy az értékek pozitívak és negatívak. $\sigma _{ic},i=1,2,3$ $\sigma _{it},i=1,2,3$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y))$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c))$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t))$

Drucker forgalmi kritériuma

A Drucker-Prager kritérium nem ütközhet a korábbi Drucker-kritériummal [8] , amely terheléstől független ( ). A Drucker-kritérium tartalmazza a bejegyzést $I_1$

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

ahol a feszültségtenzor-eltérés második invariánsa, a feszültségtenzor -eltérés harmadik invariánsa, -27/8 és 9/4 közötti állandó (úgy, hogy a hozamfelület konvex), egy állandó, amely a . , , ahol az egytengelyű feszültség szilárdsági kritériuma. $J_{2}$ $J_{3}$ $\alpha$ $k$ $\alpha$ $\alpha=0$ $k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}$ $\sigma_y$

Anizotróp Drucker-kritérium

A Drucker hozamkritérium anizotróp változata a Kazaku-Barlat hozamkritérium [9] , melynek alakja

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

hol vannak a feszültségtenzor deviátor általánosított alakjai a következőképpen definiálva: ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0))$

{\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33 })^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22}) ^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{ 2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+ (b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\} \sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{ 33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{ (b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _ {33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _ {33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\ sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_ {10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2} \jobbra.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{2  2}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}

A Kazaku-Barlat hozamkritérium síkfeszültségi állapothoz

Vékony fémlemezeknél a feszültségek úgy tekinthetők, mint egy síkfeszültségi állapot esetén . Ebben az esetben a Cazacou-Barlat hozamkritérium kétdimenziós változatára redukálódik:

{\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^ {2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6} \sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{ 11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\jobbra]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\ sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\jobbra]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\ szigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{igazított}}

A fémből és ötvözetekből készült vékony lemezeknél a Kazaku-Barlat hozamkritérium paraméterei a megfelelő táblázatokban találhatók

1. táblázat A Kazaku-Barlat hozamkritérium paraméterei fémek és ötvözetek esetében

Anyag	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{6}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	${\displaystyle b_{10))$	$\alpha$
6016-T4 alumíniumötvözet	0,815	0,815	0,334	0,42	0,04	-1,205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1.4
2090-T3 alumíniumötvözet	1.05	0,823	0,586	0,96	1.44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1.285

Jegyzetek

↑ Drucker, DC és Prager, W. (1952). Talajmechanika és képlékeny elemzés a határértékek tervezéséhez . Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, sz. 2, pp. 157-165.
↑ Pisarenko G.S., Mozharovsky N.S. A plaszticitás és a kúszás elméletének egyenletek és határérték-problémák. Használati útmutató. - Kijev: Nauk. Dumka, 1981. - S. 36. - 496 p.
↑ Abrate, S. (2008). A sejtes anyagok folyásának vagy tönkremenetelének kritériumai . Journal of Sandwich Structures and Materials, vol. 10.pp. 5-51.
↑ Gibson, L. J., Ashby, M. F., Zhang, J. és Triantafilliou, T. C. (1989). Meghibásodási felületek cellás anyagokhoz többtengelyű terhelés esetén. I. Modellezés . International Journal of Mechanical Sciences, vol. 31. sz. 9, pp. 635-665.
↑ V. S. Deshpande és Fleck, N. A. (2001). Polimerhabok többtengelyes folyási viselkedése. Acta Materialia, vol. 49, sz. 10, pp. 1859-1866.
↑ , ahol a Deshpande és Fleck által használt érték $\beta =\alpha /3$ $\alpha$
↑ Liu, C., Huang, Y. és Stout, M. G. (1997). Plasztikusan ortotróp anyagok aszimmetrikus hozamfelületén: Fenomenológiai vizsgálat. Acta Materialia, vol. 45, sz. 6, pp. 2397-2406
↑ Drucker, DC (1949) Kísérletek összefüggései a plaszticitás matematikai elméleteivel , Journal of Applied Mechanics, vol. 16, pp. 349-357.
↑ Cazacu, O. és Barlat, F. (2001). A Drucker-féle hozamkritérium általánosítása az ortotrópiára. Mathematics and Mechanics of Solids, vol. 6, sz. 6, pp. 613-630.