Alaktényező

Az alaktényező egy mennyiség négyzetgyökértékének és az azonos mennyiség átlagos modulusának (átlagos abszolút értékének) aránya. Ha ennek az értéknek egy másik változótól való függését grafikonként ábrázoljuk, akkor az alaktényező megmutatja, hogy ennek a vonalnak az alakja mennyiben tér el egy vízszintes egyenestől. Egy állandó függvény alaktényezője eggyel egyenlő.

Az alaktényezőt gyakran használják az elektronikában az áram vagy feszültség időfüggőségének leírására. Megmutatja, hogy mennyiben tér el egy váltakozó áramú hullámforma az azonos átlagos teljesítményű egyenáramú hullámformától. Ez utóbbi olyan áramként is leírható, amely ugyanazon a terhelésen ugyanazt a hőt állítja elő ugyanabban a hosszú ideig.

Formafaktor számítás.

Egy T időintervallumban véges és folytonos függvény esetén az ezen időintervallumra vonatkozó négyzetes középérték kiszámítható az integrál segítségével: $x(t)$

$X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)] }^{2}\,dt}}}$

Az átlagos modulus kiszámítása az abszolút érték integráljával történik ugyanabban az intervallumban:

$X_{\mathrm {arv} }={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt} }$

Ennek a két mennyiségnek az aránya az alaktényező, amelyet általában jelölnek . ${\displaystyle k_{\mathrm {f} ))$

$k_{\mathrm {f} }={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\ int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_ {0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt))))={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0 }+T}{{[x(t)]}^{2}\,dt))}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\ ,dt}}}$

Bár mindkét átlagérték (és , és ) jellemzi a görbe nullától való távolságát, az effektív érték is tükrözi ennek a távolságnak a változékonyságát, mivel a nullától való nagy és kis eltérések aránytalanul hozzájárulnak ehhez. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$ ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$

RMS mindig nagyobb vagy egyenlő, mint . Ezért az alaktényező nem lehet kisebb 1-nél, és nincs elméleti felső határa. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$

Ha egy komplex periodikus jel N különböző frekvenciájú szinuszos jel (harmonikus) összegeként ábrázolható, akkor a komplex jel RMS értéke a következőképpen számítható ki:

$X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+ ...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2}}}}$

Ugyanakkor egy komplex jel átlagos modulja egyszerűen egyenlő a harmonikusok átlagos moduljainak összegével: . $X_{\mathrm {arv} }=X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} }$

Ezért egy komplex periodikus jel alaktényezője a következő képlettel számítható ki:

$k_{\mathrm {f} _{\mathrm {tot} }}={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{{ X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2 }}}}{X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} }}}$ .

Alkalmazás

A váltakozó áramú digitális műszereket gyakran valamilyen időfüggőség figyelembevételével építik. Például sok AC DMM, amely kijelzi az RMS áramot, valójában kiszámítja az áram átlagos modulusát, és megszorozza azt a szinuszos áram hullámforma-tényezőjével. Bár ez a módszer egyszerűbb, nem szinuszos áramok esetén hibákat vezet be.

Mind a négyzet kiszámítása -ben , mind a modulus kiszámítása a függvény előjelének függetlenségéhez vezet. Ezért egy váltakozó irány hullámforma-tényezője, ha az átlagértéke nulla, a teljes egyenirányítás után változatlan marad. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$

Az alakegyüttható a három hullámegyüttható közül a legkisebb, a másik kettő a és , ahol X_\mathrm{max} a függvény legnagyobb értéke ugyanabban az időintervallumban. ${\displaystyle k_{\mathrm {f} ))$ $k_{\mathrm {a} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {rms} }}}$ $k_{\mathrm {av} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {arv} }}}$

$k_{\mathrm {av} }\geq k_{\mathrm {a} }\geq k_{\mathrm {f} }$ [egy]

Ezt a három együtthatót a -val kapcsolják össze, így az alaktényező a következőképpen számítható ki: . $k_{\mathrm {av} }=k_{\mathrm {a} }k_{\mathrm {f} }$ $k_{\mathrm {f} }={\frac {k_{\mathrm {av} }}{k_{\mathrm {a} }}}$

Néhány elektronikában fontos funkció formai tényezői

Jelölje a betű a függvény nullától való maximális eltérését (egyes függvényeknél ez az érték egybeesik az amplitúdóval). Például ábrázolható így . Mivel az effektív érték és az átlagmodulus is ezzel az értékkel arányos, ez nem befolyásolja az alaktényezőt, és számításánál 1-gyel helyettesíthető. $a$ $8\sin(t)$ $f(t)=a\sin(t),\ a=8$

Jelöljük a munkaciklust, vagyis az impulzusidő (amikor a függvény nem egyenlő nullával) és a periódus arányát . A legegyszerűbb periodikus függvények közül sok csak végtelenül rövid pillanatokra ér el nullát, és ezeknél . $D={\frac {\tau }{T))$ $\tau$ $T$ $\tau =T,D=1$

Hullámforma	RMS érték	Középső modul	Alaktényező
szinuszos	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2))))$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2))))\kb. 1,11072073$
Félig rektifikált szinusz	${\frac {a}{2))$	${\frac {a}{\pi ))$	${\frac {\pi }{2}}\kb. 1,5707963$
Egyenirányított szinuszhullám	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2))))$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2))))$
Kanyarog	$a$	$a$	${\frac {a}{a}}=1$
Téglalap alakú egyirányú jel	$a{\sqrt {D))$	$aD$	${\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}$
háromszög hullám	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3))))$	${\frac {a}{2))$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\kb 1,15470054$
fűrészfog jel	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3))))$	${\frac {a}{2))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3))))$
Additív White Gaussian Noise U (-1,1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\frac {1}{2))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3))))$

Jegyzetek

↑ Dusza, Jacek. Podstawy Miernictwa (A mérés alapjai) : [] / Jacek Dusza, Grażyna Gortat, Antoni Leśniewski. — Warszawa: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, 2002. — P. 136–142, 197–203. — ISBN 83-7207-344-9 .