Kapcsolati szerkezet

Az érintkezési struktúra egy sima , páratlan dimenziójú sokaságon lévő szerkezet , amely érintő hipersíkok sima mezőjéből áll, és kielégíti az alábbiakban megfogalmazott nem-degenerációs feltételt. Ilyen szerkezet mindig létezik az elosztó érintkezőelemeinek elosztóján. Az érintkező szerkezet szorosan kapcsolódik a szimplektikus struktúrához , és annak analógja a páratlan dimenziós elosztók számára. $M^{{2n+1}}$

Definíció

Az elosztó érintkezőszerkezetét egy 1-es forma megadásával határozzuk meg úgy, hogy $\lambda$

\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0

$\lambda$ kapcsolatfelvételi űrlapnak nevezik. Az érintkezőstruktúra csak egy orientálható elosztón létezik, és egyedi vektormezőt határoz meg azon $Y$ $M^{{2n+1}}$

\lambda(Y)=1

d\lambda(Y,X)=0

bármely vektormezőre . $x$

Tulajdonságok

Az érintkező elosztó mérete mindig páratlan.
A fázistérben megadott Hamilton -féle bármely szintű részsokaságán természetes érintkezési struktúra keletkezik.

Minden szimplektikus 2n-dimenziós sokaság kanonikusan kapcsolódik egy (2n+1)-dimenziós érintkezőcsonkhoz, amelyet kontaktizációjának nevezünk .
- Ezzel szemben bármely (2n+1)-dimenziós érintkezőcsonk esetében létezik a szimplektizálása , amely egy (2n+2)-dimenziós sokaság.

Változatok és általánosítások

Szinte kontakt struktúra

Legyen egy páratlan dimenziójú sima sokaság . $M^{{2n+1}}$ $\dim M=2n+1$

A sokaságon lévő majdnem kontakt struktúra a tenzormezők hármasa ezen a sokaságon, ahol van egy differenciális 1-forma, amelyet a szerkezet kontaktformájának neveznek, egy vektormező, amelyet karakterisztikának neveznek, egy endomorfizmus , amelyet szerkezeti endomorfizmusnak neveznek. . Ahol $M$ $(\eta ,\xi ,\Phi )$ $\eta$ $\xi$ $\Phi$ $TM$

$\eta (\xi )=1$
$\eta \circ \Phi =0$
$\Phi (\xi )=0$
$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$

Ha ezen kívül egy Riemann-féle szerkezetet rögzítünk -ra , úgy, hogy $M$ $g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$

a négyes szintet érintkező metrikus (vagy rövidebb AC-) szerkezetnek nevezik. Azt az elosztót, amelyen (majdnem) érintkezős [metrikus] szerkezet van megadva, (majdnem) érintkezős [metrikus] elosztónak nevezzük. $(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$

Irodalom

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Szimlektikus geometria.