Kvantum Monte Carlo módszer

A kvantum Monte Carlo módszerek a komplex kvantumrendszerek  tanulmányozására szolgáló módszerek nagy családját jelentik . Az egyik fő feladat a kvantum-soktest-probléma megbízható megoldása (vagy kellően pontos közelítése) . Ennek a módszernek a különböző változataiban van egy közös jellemző: a Monte Carlo-módszert használják a többdimenziós integrálok kiszámítására, amelyek a soktest-probléma különféle megfogalmazásaiban merülnek fel. A Quantum Monte Carlo módszerek lehetővé teszik számos, hullámfüggvényben titkosított részecske komplex hatásának leírását , túlmutatva az átlagtérelméleten , és egyes esetekben pontos megoldásokat kínálnak a soktest problémájára. Létezik egy numerikusan pontos és polinomiálisan skálázható algoritmus egy bozonrendszer statikus tulajdonságainak pontos tanulmányozására geometriai frusztráció nélkül . Fermionok esetében nem ismertek ilyen algoritmusok, de vannak különálló algoritmusok, amelyek nagyon jó közelítést adnak statikus tulajdonságaikról, és külön kvantum Monte Carlo algoritmusok, amelyek numerikusan pontosak, de exponenciálisan skálázhatók.

Bevezetés

Elvileg minden fizikai rendszert leír a Schrödinger -egyenlet sok részecskére, mindaddig, amíg a részecskék nem mozognak túl gyorsan (azaz úgy, hogy sebességük kicsi marad a fénysebességhez képest , és a relativisztikus hatások figyelmen kívül hagyhatók) . Ez a követelmény a kondenzált anyag fizikája, a Bose-Einstein kondenzátum és a szuperfolyadékok , például a folyékony hélium elektronikai problémáinak széles körében teljesül . A Schrödinger-egyenletek egy adott rendszerre való megoldásának képessége lehetővé teszi annak viselkedésének előrejelzését, és számos tudományterületen fontos alkalmazásai vannak, az anyagtudománytól a komplex biológiai rendszerekig. A nehézséget az okozza, hogy a Schrödinger-egyenlet megoldásához ismerni kell a sokrészecskés hullámfüggvényt egy többdimenziós Hilbert-térben , amelynek mérete általában exponenciálisan növekszik a részecskék számának növekedésével.

Nagyszámú részecske megoldása alapvetően lehetetlen ésszerű időn belül, még a modern párhuzamos számítástechnika esetében sem . Hagyományosan az egyrészecskés molekulapályákból álló sokrészecskés antiszimmetrikus függvények közelítését használják [1] , ami a Schrödinger-egyenlet megoldásának problémáját egy olyan formára redukálja, amellyel lehet dolgozni. Ennek a fajta készítménynek számos hátránya van. Ezek vagy a kvantumkorrelációkra korlátozódnak, mint például a Hartree-Fock módszer , vagy nagyon lassan konvergálnak, mint a kvantumkémiában a konfigurációs kölcsönhatások esetében .

A kvantum-Monte Carlo-módszerek megnyitják az utat a sokrészecske-problémák és a sokrészecske-hullámfüggvények közvetlen tanulmányozása előtt e korlátozások nélkül. A legfejlettebb kvantum-Monte Carlo-módszerek pontos megoldást adnak a bozonrendszer sokrészecske-problémájára frusztrációk nélkül, egyidejűleg a kölcsönhatásban lévő fermionrendszerek hozzávetőleges, de általában helyes leírásával. A legtöbb módszer a rendszer alapállapotának hullámfüggvényének meghatározását célozza, kivéve a Monte Carlo módszert az útintegráloknál és a Monte Carlo módszert a véges hőmérsékleteknél, amelyek a sűrűségmátrix kiszámításához szolgálnak. A stacionárius feladatokon kívül megoldható az időfüggő Schrödinger-egyenlet is, bár csak közelítően, korlátozva az időfüggő hullámfüggvény funkcionális formáját. Ehhez egy időfüggő variációs Monte Carlo módszert fejlesztettek ki. Valószínűségelmélet szempontjából a vezető sajátértékek és a megfelelő alapállapot-hullámfüggvények számítása a Feynman-Kak trajektóriák menti integrálok problémájának numerikus megoldásán alapul [2] [3] . A Feynman-Kak részecskeabszorpciós modell, a Monte Carlo szekvencia módszer és az átlagtér értelmezések matematikai alapjait a [4] [5] [6] [7] [8] tartalmazza .

Számos kvantum-Monte Carlo módszer létezik, amelyek mindegyike Monte Carlót használja a soktest-probléma különböző módon történő megoldására.

Módszerek

Nulla hőmérséklet (csak alapállapotban)

Nem nulla hőmérsékletek (termodinamika)

Valós idejű dinamika (zárt kvantumrendszerek)

Projektek és szoftvertermékek

Linkek

  1. ↑ A hullámfüggvény funkcionális formája Archivált : 2009. július 18. a Wayback Machine -nél
  2. ↑ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre. Tiszta diffúziós kvantum Monte Carlo módszer kidolgozása egy teljes általánosított Feynman–Kac képlet felhasználásával. I. Formalizmus  (angol)  // Journal of Chemical Physics  : folyóirat. - 1988. - 1. évf. 88 , sz. 2 . - P. 1088-1099 . — ISSN 0021-9606 . - doi : 10.1063/1.454227 . - . Archiválva az eredetiből 2015. június 12-én. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2018. január 18. Az eredetiből archiválva : 2015. június 12. 
  3. ↑ Korzeniowski, A.; Fry, JL; Orr, D.E.; Fazleev, NG Feynman-Kac út-integrál számítása az atomok alapállapotú energiáiról  (angol)  // Physical Review Letters  : Journal. - 1992. - augusztus 10. ( 69. évf. , 6. sz.). - P. 893-896 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.69.893 . - .
  4. ↑ EUML | Schrödinger-operátorokhoz és Feynman–Kac félcsoportokhoz kapcsolódó Ljapunov-exponensek részecskeközelítései - P. Del Moral, L. Miclo. . eudml.org . Letöltve: 2015. június 11. Az eredetiből archiválva : 2017. február 4..
  5. ↑ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud. Részecskemozgások abszorbeáló közegben kemény és lágy akadályokkal  //  Sztochasztikus elemzés és alkalmazások : folyóirat. - 2004. - január 1. ( 22. évf. , 5. sz.). - P. 1175-1207 . — ISSN 0736-2994 . - doi : 10.1081/SAP-200026444 .
  6. ↑ Del Moral, Pierre. Átlagmező szimuláció Monte Carlo integrációhoz  . - Chapman & Hall/CRC Press, 2013. - 626. o . - Monográfiák a statisztikáról és az alkalmazott valószínűségről.
  7. ↑ Del Moral, Pierre. Feynman-Kac képlet. Genealógiai és kölcsönható részecskék  közelítései . - Springer, 2004. - P. 575. . - "Sorozat: Valószínűség és alkalmazások".
  8. ↑ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent. Elágazó és kölcsönható részecskerendszerek Feynman - Kac képletek közelítései nemlineáris szűrés alkalmazásaival  . - 2000. - Vol. 1729. - P. 1-145. - doi : 10.1007/bfb0103798 .
  9. ↑ Rousseau, VG Stochastic Green function algoritmus  (angol)  // Physical Review E  : folyóirat. - 2008. - május 20. ( 77. köt. ). — P. 056705 . - doi : 10.1103/physreve.77.056705 . - . - arXiv : 0711.3839 .  (nem elérhető link)