Quantum Cramer-Rao egyenlőtlenség

A kvantum-Cramer-Rao egyenlőtlenség a kvantumbecslési elméletben a négyzetgyökér-hiba alsó korlátjának egyenlőtlensége , hasonlóan a klasszikus becsléselmélet Cramer-Rao egyenlőtlenségéhez .

Megfogalmazás

Tekintsük a sűrűségoperátor kvantumbecslését a valószínűségi-operátor mértékkel , amely becslést ad . A kvantumbecslések matematikai elvárásait az alábbi formában kapjuk meg . Itt van az operátor nyoma a Hilbert térben. Tekintsünk elfogulatlan becsléseket, azaz olyan becsléseket, amelyekre az azonosság igaz: . A torzítatlan becslések kovarianciáit a következő képlet adja meg: . Másodfokú veszteségfüggvény esetén az átlagos kockázat . Itt van a mátrix nyoma [1] . $\rho (\theta )$ $d\Pi ({\hat {\theta)))$ ${\kalap {\theta ))$ $q({\hat {\theta }}|\theta )=q({\hat {\theta }}|\theta )d^{m}\theta =\operátornév {Tr} [\rho (\ theta )d\Pi ({\hat {\theta )))]$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\int _{\Theta }{\hat {\theta }} _{j}\,\operátornév {Tr} [\rho (\theta )d\Pi ({\hat {\theta )))]$ $\operátornév {Tr}$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\theta _{j}$ ${\displaystyle B_{ij))$ $B_{ij}=E[({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{i})({\hat {\theta }}_{j} -{\bar {\theta }}_{j})|\theta ]=\int _{\Theta }({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{ i})({\hat {\theta }}_{j}-{\bar {\theta }}_{j})\operátornév {Tr} \rho (\theta )\,d\Pi ({\hat {\theta)))$ ${\bar {C}}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g_{ij}B_{ij}=\operátornév {tr} GB$ $\operátornév{tr}$

A Cramer-Rao kvantumegyenlőtlenség első formája [2] :

{\tilde {Y}}BY\geqslant {\tilde {Y}}A^{-1}Y

A Cramer-Rao kvantumegyenlőtlenség második formája [2] :

{\tilde {Z}}B^{-1}Z\geqslant {\tilde {Z}}AZ

Itt a , -t a képlet határozza meg , amelyet innen kapunk , ahol , . $A_{ij}=\operátornév {Tr} \left({\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{i))}L_{j}\right)$ ${\displaystyle L_{k))$ ${\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{k))}={\frac {1}{2))(\rho L_{k}+L_{k}\rho )$ $Y,Z$ $\operatorname {Re} \operatorname {Tr} \left(\int _{\Theta }T_{\theta }\rho T_{L}\,d\Pi ({\hat {\theta )))\ jobbra)={\tilde {Y}}Z$ $T_{\theta }=1\sum _{j=1}^{m}y_{j}({\hat {\theta }}_{j}-\theta _{j})$ ${\displaystyle T_{L}=\sum _{k=1}^{L}z_{k}L{k))$

Jegyzetek

↑ Helstrom, 1979 , p. 295.
↑ 1 2 Helstrom, 1979 , p. 297.

Irodalom

Helstrom K. A hipotézisek tesztelésének és becslésének kvantumelmélete. — M .: Mir, 1979. — 344 p.